Question

10．如圖，矩形ABCD中，AB=3，BC=4，點(diǎn)E是BC邊上一點(diǎn)，連接AE，把∠B沿AE折疊，使點(diǎn)B落在點(diǎn)B′處．當(dāng)△CEB′為直角三角形時(shí)，CB′的長(zhǎng)為2或$\sqrt{10}$．

Answer 1

分析 當(dāng)△CEB′為直角三角形時(shí)，有兩種情況：
①當(dāng)點(diǎn)B′落在矩形內(nèi)部時(shí)，如答圖1所示．
連結(jié)AC，先利用勾股定理計(jì)算出AC=5，根據(jù)折疊的性質(zhì)得∠AB′E=∠B=90°，而當(dāng)△CEB′為直角三角形時(shí)，只能得到∠EB′C=90°，所以點(diǎn)A、B′、C共線(xiàn)，即∠B沿AE折疊，使點(diǎn)B落在對(duì)角線(xiàn)AC上的點(diǎn)B′處，則EB=EB′，AB=AB′=3，可計(jì)算出CB′=2，設(shè)BE=x，則EB′=x，CE=4-x，然后在Rt△CEB′中運(yùn)用勾股定理可計(jì)算出x．
②當(dāng)點(diǎn)B′落在AD邊上時(shí)，如答圖2所示．此時(shí)ABEB′為正方形．

解答 解：當(dāng)△CEB′為直角三角形時(shí)，有兩種情況：

①當(dāng)點(diǎn)B′落在矩形內(nèi)部時(shí)，如答圖1所示．
連結(jié)AC，在Rt△ABC中，AB=3，BC=4，
∴AC=5，
∵∠B沿AE折疊，使點(diǎn)B落在點(diǎn)B′處，
∴∠AB′E=∠B=90°，
當(dāng)△CEB′為直角三角形時(shí)，只能得到∠EB′C=90°，
∴點(diǎn)A、B′、C共線(xiàn)，即∠B沿AE折疊，使點(diǎn)B落在對(duì)角線(xiàn)AC上的點(diǎn)B′處，
∴EB=EB′，AB=AB′=3，
∴CB′=5-3=2；

②當(dāng)點(diǎn)B′落在AD邊上時(shí)，如答圖2所示．
此時(shí)ABEB′為正方形，
∴B'E=AB=3，
∴CE=4-3=1，
∴Rt△B'CE中，CB'=$\sqrt{{1}^{2}+{3}^{2}}$=$\sqrt{10}$．
綜上所述，BE的長(zhǎng)為2或$\sqrt{10}$．
故答案為：2或$\sqrt{10}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了折疊問(wèn)題：折疊前后兩圖形全等，即對(duì)應(yīng)線(xiàn)段相等；對(duì)應(yīng)角相等．也考查了矩形的性質(zhì)以及勾股定理．注意本題有兩種情況，需要分類(lèi)討論，避免漏解．