Question

（2013•石景山區(qū)一模）如圖，直線y=-3x+3交x軸于A點(diǎn)，交y軸于B點(diǎn)，過A、B兩點(diǎn)的拋物線C₁交x軸于另一點(diǎn)M（-3，0）．
（1）求拋物線C₁的解析式；
（2）直接寫出拋物線C₁關(guān)于y軸的對(duì)稱圖形C₂的解析式；
（3）如果點(diǎn)A′是點(diǎn)A關(guān)于原點(diǎn)的對(duì)稱點(diǎn)，點(diǎn)D是圖形C₂的頂點(diǎn)，那么在x軸上是否存在點(diǎn)P，使得△PAD與△A′BO是相似三角形？若存在，求出符合條件的P點(diǎn)坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由．

Answer 1

分析：（1）利用一次函數(shù)解析式求得點(diǎn)A、B的坐標(biāo)，然后將點(diǎn)A、B、M的坐標(biāo)分別代入拋物線解析式y(tǒng)=ax²+bx+c（a≠0），列出關(guān)于a、b、c的三元一次方程組，通過解方程組即可求得它們的值；
（2）關(guān)于y軸對(duì)稱的點(diǎn)的坐標(biāo)，縱坐標(biāo)不變，橫坐標(biāo)互為相反數(shù)；
（3）需要分類討論：△PAD與△A'BO相似時(shí)，相似比是3和

1

3

兩種情況下的點(diǎn)P的坐標(biāo)．

解答：解：（1）設(shè)拋物線的解析式為：y=ax²+bx+c（a≠0）
∵直線y=-3x+3交x軸于A點(diǎn)，交y軸于B點(diǎn)，
∴A點(diǎn)坐標(biāo)為（1，0）、B點(diǎn)坐標(biāo)為（0，3）．
又∵拋物線經(jīng)過A、B、M三點(diǎn)，
∴

a+b+c=0 9a-3b+c=0 c=3.

，
解得：

a=-1 b=-2 c=3

．
∴拋物線C₁的解析式為：y=-x²-2x+3．

（2）拋物線C₁關(guān)于y軸的對(duì)稱圖形C₂的解析式為：y=-x²-2x+3=-（-x）²-2×（-x）+3=-x²+2x+3，即y=-x²+2x+3．

（3）A′點(diǎn)的坐標(biāo)為（-1，0），∵y=-x²+2x+3=-（x-1）²+4，
∴該拋物線的頂點(diǎn)為D（1，4）．
若△PAD與△A'BO相似，
①當(dāng)

DA

AP

=

BO

OA′

=3時(shí)，AP=

4

3

，P點(diǎn)坐標(biāo)為(-

1

3

，0)或(

7

3

，0)；
②當(dāng)

DA

AP

=

BO

OA′

=

1

3

時(shí)，AP=12，P點(diǎn)坐標(biāo)為（-11，0）或（13，0）；
∴當(dāng)△PAD與△A'BO是相似三角形時(shí)，P點(diǎn)坐標(biāo)為(-

1

3

，0)或(

7

3

，0)或（-11，0）或（13，0）．

點(diǎn)評(píng)：本題綜合考查了待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式，一次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征，相似三角形的判定與性質(zhì)．此題綜合性比較強(qiáng)，屬于難題．另外，解答（3）時(shí)，一定要分類討論，以防漏解．