Question

9．如圖，△ABC的兩條高AD、BF交于E，連EC，∠AEB=105°，∠ABC=45°．
（1）求∠DEC的度數(shù)；
（2）求證：AB-BE=CE．

Answer 1

分析 （1）首先證明△BDE≌△ADC，推出DE=EC，延長即可解決問題．
（2）如圖2中，延長EF到M使得FM=EF．只要證明△ECM是等邊三角形，BA=BM即可證明．

解答 （1）解：如圖1中，

∵△ABC的兩條高AD、BF交于E，
∴∠ADB=∠ADC=∠AFE=90°，
∵∠ABC=45°，
∴∠BAD=90°-∠ABC=45°，
∴∠ABD=∠ADB，
∴BD=AD，
∵∠DBE+∠ACB=90°，∠DAC+∠ACD=90°，
∴∠DBE=∠DAC，
在△BDE和△DAC中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠DBE=∠DAC}\\{BD=AD}\\{∠BDE=∠ADC}\end{array}\right.$，
∴△BDE≌△ADC，
∴DE=DC，
∴∠DEC=∠DCE=45°．

（2）證明：如圖2中，延長EF到M使得FM=EF．

∵∠AEB=105°，∴∠AEF=∠BED=75°，
∴∠DBE=∠DAC=15°，
∴∠MEC=∠EBC+∠ECD=60°，
∵AC⊥EM，EF=FM，
∴AE=AM，CE=CM，
∴△ECM是等邊三角形，
∴EC=EM，
∴∠AEM=∠AMB=75°，∠FAE=∠FAM=15°，
∴∠BAM=∠BAD+∠DAM=75°，
∴∠BAM=∠BMA，
∴BA=BM，
∴AB=BE+EM=BE+EC，
∴AB-BE=EC．

點評 本題考查全等三角形的判定和性質(zhì)．等腰直角三角形的性質(zhì)、等邊三角形的判定和性質(zhì)，線段的垂直平分線的性質(zhì)定理等知識，解題的關(guān)鍵是靈活運用這些知識解決問題，學(xué)會添加常用輔助線，構(gòu)造特殊三角形解決問題，屬于中考�？碱}型．