Question

已知Rt△ABC中，∠ABC=90°，以AB為直徑作⊙O交AC于點(diǎn)D，連結(jié)BD．

（1）如圖1，若BD∶CD＝3∶4，AD＝3，求⊙O的直徑 AB的長；

（2）如圖2，若E是BC的中點(diǎn)，連結(jié)ED，請你判斷直線ED與⊙O的位置關(guān)系，并證明你的結(jié)論

．

Answer 1

解：（1）如圖1，∵ AB是⊙O的直徑，

∴ ∠ADB=90°． 

則∠CDB=∠ADB=90°．

∴∠C+∠CBD=90°．

∵∠ABC=90°，

∴∠ABD+∠CBD=90°．

∴∠C=∠ABD．

∴△ADB∽△BDC．

∴．

∵BD：CD =3：4，AD=3，

∴BD=4．

在Rt△ABD中，． 

（2）直線ED與⊙O相切．

證明：如圖2，連結(jié)OD．

     由（1）得∠BDC=90°．

        ∵E是BC的中點(diǎn)，

      ∴DE=BE．

∴∠EDB=∠EBD．

∵OB=OD，

∴∠ODB=∠OBD．

∵∠OBD+∠EBD=90°，

∴∠ODB+∠EDB=∠ODE=90°．  

∴ED是⊙O的切線．