Question

【題目】已知：在平面直角坐標系中，邊長為8的正方形OABC的兩邊在坐標軸上（如圖）．

（1）求點A，B，C的坐標．

（2）經過A，C兩點的直線l上有一點P，點D（0，6）在y軸正半軸上，連PD，PB（如圖1），若PB2﹣PD2＝24，求四邊形PBCD的面積．

（3）若點E（0，1），點N（2，0）（如圖2），經過（2）問中的點P有一條平行于y軸的直線m，在直線m上是否存在一點M，使得△MNE為直角三角形？若存在，求M點的坐標；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】（1）A(8,0),B(8,8),C(0,8)；（2）15；（3）M的坐標是(3,7)或(3,2)

【解析】

(1)根據正方形的性質直接寫出點A,B,C的坐標.

(2)求得直線AC的解析式為y=-x+8,過點P作平行于x軸的直線,根據題意可求點P的坐

標是:P(3,5),故四邊形PBCD的面積=S +S

(3)根據第(2)中求得的P(3,5),設M(3,t),分類討論:

①當∠MEN=90°時,ME=3+(t-1)2,EN=1+2,MN=1+t,利用勾股定理求得t的值,

②當∠MNE=90°時,同理可求:M(3,2).

③顯然∠EMN不可能等于90°.

綜合可得:使△MNE為直角三角形的點是M(3,7)或M(3,2),

(1)∵如圖1,四邊形OABC是正方形,且其邊長為8,

∵.OA=AB=BC=OC=8,

∴A(8,0),B(8,8),C(0,8),

(2)設直線AC的解析式為y=k+8,

將A(8,0)代入,得0=8k+8,

解得k=-1

故直線AC的解析式為y=-x+8.

設P（x,-x+8）

∵PB-PD=24,D(0,6),B(8,8),

∴(x-8) +(-x+8-8) -x-(-x+8-6) =24,

解得x=3,

∴點P的坐標是:P(3,5),

∴四邊形PBCD的面積=S +S =×2×3+×8×3=15

(3)根據第(2)中求得的P(3,5),設M(3,t),分類討論:

①當∠MEN=90°時, ME =3+(t-1) ,EN=1+2,MN=1+t

∴MN=ME+EN

∴1+t=9+t-2t+1+5,

∴t=7,

∴M(3,7)

②當∠MNE=90°時,同理可求:M(3,2)

③顯然∠EMN不可能等于90°

綜合可得:使△MNE為直角三角形的點M的坐標是(3,7)或(3,2).