Question

已知拋物線y=x²-2x+a（a＜0）與y軸相交于點A，頂點為M，直線分別與x軸，y軸相交于B，C兩點，并且與直線AM相交于點N。
（1）試用含a的代數式分別表示點M與N的坐標；
（2）如圖，將△NAC沿y軸翻折，若點N的對應點N′恰好落在拋物線上，AN′與x軸交于點D，連接CD，求：①a的值；
②四邊形ADCN的面積；
（3）在拋物線y=x²-2x+a（a＜0）上是否存在一點P，使得以P，A，C，N為頂點的四邊形是平行四邊形？若存在，求出P點的坐標；若不存在，試說明理由。

Answer 1

解：（1）M（1，a-1），；
（2）由題意得點N與點N′關于y軸對稱， ∴N′， 將N′的坐標代入y=x2-2x+a得： ， ∴a1=0（不合題意，舍去），， ∴， ∴點N到y(tǒng)軸的距離為3， ∴，N′， ∴直線AN'的解析式為， 它與x軸的交點為， ∴點D到y(tǒng)軸的距離為； ∴；
（3）當點P在y軸的左側時，若ACPN是平行四邊形，則PN平行且等于AC， ∴把N向上平移-2a個單位得到P，坐標為，代入拋物線的解析式， 得：， ∴a1=0（不合題意，舍去），， ∴， 當點P在y軸的右側時，若APCN是平行四邊形，則AC與PN互相平分， ∴OA=OC，OP=ON， ∴P與N關于原點對稱， ∴， 將P點坐標代入拋物線解析式得：， ∴a1=0（不合題意，舍去），， ∴， ∴存在這樣的點或，能使得以P，A，C，N為頂點的四邊形是平行四邊形。