Question

已知拋物線y=-x²+2x+1的頂點(diǎn)為P，且與x軸交于A、B兩點(diǎn)，現(xiàn)將這條拋物線繞原點(diǎn)旋轉(zhuǎn)180°，得到拋物線y=ax²+bx+c且與y軸交于點(diǎn)D，與x軸交于點(diǎn)M、N．
（1）D點(diǎn)的坐標(biāo)為

 

．
（2）a=

 

，b=

 

，c=

 

．
（3）若點(diǎn)A與N是互相對(duì)應(yīng)的點(diǎn)，試求△PAN的面積．

Answer 1

考點(diǎn)：二次函數(shù)圖象與幾何變換

專題：計(jì)算題

分析：（1）先把y=-x²+2x+1配成頂點(diǎn)式得y=-（x-1）²+2，則P點(diǎn)坐標(biāo)為（1，2），再求出點(diǎn)P關(guān)于原點(diǎn)的對(duì)稱點(diǎn)的坐標(biāo)（-1，-2），由此可得旋轉(zhuǎn)后的拋物線解析式為y=（x+1）²-2，再計(jì)算出自變量為0時(shí)的函數(shù)值即可得到D點(diǎn)坐標(biāo)；
（2）把y=（x+1）²-2變形為一般式得到y(tǒng)=x²+2x-1，則易得a、b、c的值；
（3）根據(jù)拋物線與x軸的交點(diǎn)問題，求出點(diǎn)A與點(diǎn)B的坐標(biāo)為（

2

+1，0）、（-

2

+1，0），點(diǎn)M與點(diǎn)N的坐標(biāo)為（

2

-1，0）、（-

2

-1，0）；然后分類討論：當(dāng)A（

2

+1，0），則N（-

2

-1，0）或當(dāng)A（-

2

+1，0），則N（

2

-1，0），再根據(jù)三角形面積公式求解．

解答：解：（1）y=-x²+2x+1=-（x-1）²+2，則P點(diǎn)坐標(biāo)為（1，2），
點(diǎn)P關(guān)于原點(diǎn)的對(duì)稱點(diǎn)的坐標(biāo)為（-1，-2），
所以旋轉(zhuǎn)后的拋物線解析式為y=（x+1）²-2，
當(dāng)x=0時(shí)，y=1-2=-1，則D點(diǎn)坐標(biāo)為（0，-1）；
（2）y=（x+1）²-2=x²+2x-1，
所以a=1，b=2，c=-1；
故答案為（0，-1）；1，2，-1；
（3）當(dāng)-（x-1）²+2=0，解得x₁=

2

+1，x₂=-

2

+1，則點(diǎn)A與點(diǎn)B的坐標(biāo)為（

2

+1，0）、（-

2

+1，0）；
當(dāng)（x+1）²-2=0，解得x₁=

2

-1，x₂=-

2

-1，則點(diǎn)M與點(diǎn)N的坐標(biāo)為（

2

-1，0）、（-

2

-1，0）；
當(dāng)A（

2

+1，0），N（-

2

-1，0），所以△PAN的面積=

1

2

×2×（

2

+1+

2

+1）=2

2

+2；
當(dāng)A（-

2

+1，0），N（

2

-1，0），所以△PAN的面積=

1

2

×2×（

2

-1+

2

-1）=2

2

-2，
即△PAN的面積為2

2

+2或2

2

-2．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了二次函數(shù)與幾何變換：由于拋物線平移后的形狀不變，故a不變，所以求平移后的拋物線解析式通�？衫�用兩種方法：一是求出原拋物線上任意兩點(diǎn)平移后的坐標(biāo)，利用待定系數(shù)法求出解析式；二是只考慮平移后的頂點(diǎn)坐標(biāo)，即可求出解析式．