Question

如圖，A、B兩個村子在河CD的同側(cè)，AB²=13km，A、B兩村子到河的距離分別為AC=1km，BD=3km．現(xiàn)在要在河邊CD上建一水廠，向A、B村輸送自來水，鋪設(shè)水管的工程費為每千米3000元，請你在CD上選擇水廠的位置O，使鋪設(shè)水管費用的最省，并求出鋪設(shè)水管的總費用W．

Answer 1

考點：軸對稱-最短路線問題

專題：

分析：根據(jù)題意構(gòu)造直角三角形，進而得出AF的長，再求出A′B的長，即可得出答案．

解答：解：如圖所示：過點A作AF⊥BD于點F，過點A′作A′E⊥BD延長線于點E，
由題意可得：A點關(guān)于CD的對稱點為A′，連接A′B交CD于點O，此時AO+BO最小，
∵AC=1km，BD=3km，
∴BF=2km，DE=1km，
∵AB²=13km，
∴AF=

13-22

=3（km），
在Rt△BA′E中
A′E²+BE²=A′B²，
即3²+4²=A′B²，
解得：A′B=5，
則AO+BO=5（km），
故鋪設(shè)水管的總費用W=5×3000=15000（元）．

點評：此題主要考查了軸對稱求最短路徑，解這類問題的關(guān)鍵是將實際問題抽象或轉(zhuǎn)化為幾何模型，把兩條線段的和轉(zhuǎn)化為一條線段，運用三角形三邊關(guān)系解決．