Question

9．已知拋物線y=x²-2mx+m²+m-1（m是常數(shù)）的頂點為P，直線l：y=x-1．
（1）求證：點P在直線l上；
（2）當m=-3時，拋物線與x軸交于A，B兩點，與直線l的另一個交點為Q，求△BPQ的面積；
（3）若以拋物線和直線l的兩個交點及坐標原點為頂點的三角形是等腰三角形，請直接寫出所有符合條件的m的值．

Answer 1

分析 （1）利用配方法得到y(tǒng)=（x-m）²+m-1，點P（m，m-1），然后根據(jù)一次函數(shù)圖象上點的坐標特征判斷點P在直線l上；
（2）先把m=-3代入拋物線y=x²-2mx+m²+m-1求出m的值即可得出拋物線的解析式，聯(lián)立拋物線與直線y=x-1即可得出P、Q的坐標，設(shè)直線l與x軸交于點D，求出D點坐標，再由S_△BPQ=S_△BDP-S_△BDQ即可得出結(jié)論；
（3）通過解方程組$\left\{\begin{array}{l}y={x}^{2}-2mx+{m}^{2}+m-1\\ y=m-1\end{array}\right.$得P（m，m-1），Q（m+1，m），利用兩點間的距離公式得到PQ²=2，OQ²=2m²+2m+1，OP²=2m²-2m+1，然后分類討論：當PQ=OQ時，2m²+2m+1=2；當PQ=OP時，2m²-2m+1=2；當OP=OQ時，2m²+2m+1=2m²-2m+1，再分別解關(guān)于m的方程求出m即可．

解答 （1）證明：∵y=x²-2mx+m²+m-1=（x-m）²+m-1，
∴點P的坐標為（m，m-1），
∵當x=m時，y=x-1=m-1，
∴點P在直線l上；

（2）解：∵m=-3，
∴拋物線y=x²-2mx+m²+m-1的解析式為y=x²+6x+5，
∴$\left\{\begin{array}{l}y={x}^{2}+6x+5\\ y=x-1\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}x=-3\\ y=-4\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}x=-2\\ y=-3\end{array}\right.$，
∴P（-3，-4），Q（-2，-3）．
當x²+6x+5=0時，x₁=-5，x₂=-1，
∴A（-5，0），B（-1，0）．
設(shè)直線y=x-1與x軸的交點為D，則D（1，0），
∴S_△BPQ=S_△BDP-S_△BDQ=$\frac{1}{2}$×2×4-$\frac{1}{2}$×2×3=4-3=1；

（3）解：解方程組$\left\{\begin{array}{l}y={x}^{2}-2mx+{m}^{2}+m-1\\ y=m-1\end{array}\right.$得$\left\{\begin{array}{l}x=m\\ y=m-1\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}x=m+1\\ y=m\end{array}\right.$，則P（m，m-1），Q（m+1，m），
∴PQ²=（m+1-m）²+（m-m+1）²=2，OQ²=（m+1）²+m²=2m²+2m+1，OP²=m²+（m-1）²=2m²-2m+1，
當PQ=OQ時，2m²+2m+1=2，解得m₁=$\frac{-1+\sqrt{3}}{2}$，m₂=$\frac{-1-\sqrt{3}}{2}$；
當PQ=OP時，2m²-2m+1=2，解得m₁=$\frac{1+\sqrt{3}}{2}$，m₂=$\frac{1-\sqrt{3}}{2}$；
當OP=OQ時，2m²+2m+1=2m²-2m+1，解得m=0，
綜上所述，m的值為0，$\frac{-1+\sqrt{3}}{2}$，$\frac{-1-\sqrt{3}}{2}$，$\frac{1+\sqrt{3}}{2}$，$\frac{1-\sqrt{3}}{2}$．

點評 本題考查了二次函數(shù)的綜合題：熟練掌握二次函數(shù)圖象和一次函數(shù)圖象上點的坐標特征、二次函數(shù)的性質(zhì)，會求拋物線與直線的交點坐標；理解坐標與圖形性質(zhì)，會利用兩點間的距離公式計算線段的長；會運用相似比計算線段的長；能運用分類討論的思想解決數(shù)學問題．