Question

如圖（1），等邊△ABC中，D是AB邊上的動(dòng)點(diǎn)，以CD為一邊，向上作等邊△EDC，連接AE．
（1）△DBC和△EAC會(huì)全等嗎？請(qǐng)說說你的理由；
（2）試說明AE∥BC的理由；
（3）如圖（2），將（1）動(dòng)點(diǎn)D運(yùn)動(dòng)到邊BA的延長(zhǎng)線上，所作仍為等邊三角形，請(qǐng)問是否仍有AE∥BC？證明你的猜想．

Answer 1

解：（1）△DBC和△EAC會(huì)全等
證明：∵∠ACB=60°，∠DCE=60°
∴∠BCD=60°-∠ACD，∠ACE=60°-∠ACD
∴∠BCD=∠ACE
在△DBC和△EAC中，
∵，
∴△DBC≌△EAC（SAS），

（2）∵△DBC≌△EAC
∴∠EAC=∠B=60°
又∠ACB=60°
∴∠EAC=∠ACB
∴AE∥BC

（3）結(jié)論：AE∥BC
理由：∵△ABC、△EDC為等邊三角形
∴BC=AC，DC=CE，∠BCA=∠DCE=60°
∠BCA+∠ACD=∠DCE+∠ACD，即∠BCD=∠ACE
在△DBC和△EAC中，
∵，
∴△DBC≌△EAC（SAS），
∴∠EAC=∠B=60°
又∵∠ACB=60°
∴∠EAC=∠ACB
∴AE∥BC．
分析：（1）要證兩個(gè)三角形全等，已知的條件有AC=BC，CE=CD，我們發(fā)現(xiàn)∠BCD和∠ACE都是60°減去一個(gè)∠ACD，因此兩三角形全等的條件就都湊齊了（SAS）；
（2）要證AE∥BC，關(guān)鍵是證∠EAC=∠ACB，由于∠ACB=∠ACB，那么關(guān)鍵是證∠EAC=∠ACB，根據(jù)（1）的全等三角形，我們不難得出這兩個(gè)角相等，也就得出了證平行的條件．
（3）同（1）（2）的思路完全相同，也是通過先證明三角形BCD和ACE全等，得出∠EAC=∠B=60°，又由∠ABC=∠ACB=60°，得出這兩條線段之間的內(nèi)錯(cuò)角相等，從而得出平行的結(jié)論．
點(diǎn)評(píng)：本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)及等邊三角形的性質(zhì)；本題中（1）（2）問實(shí)際是告訴解（3）題的步驟，通過全等三角形來得出角相等是解題的關(guān)鍵．