Question

已知拋物線y=ax²+bx+c的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)A（1，0），B（0，3），C（2，-1）．
（1）求該拋物線的解析式；
（2）求該拋物線與x軸的另一個(gè)交點(diǎn)D的坐標(biāo)；
（3）該拋物線的對(duì)稱軸上是否存在一點(diǎn)P，使得PA+PB最短？若點(diǎn)P存在，求出點(diǎn)P的坐標(biāo)；若P點(diǎn)不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

考點(diǎn)：二次函數(shù)綜合題

專題：

分析：（1）將已知點(diǎn)的坐標(biāo)代入二次函數(shù)的一般形式利用待定系數(shù)法確定拋物線的解析式即可；
（2）令y=0得到有關(guān)x的一元二次方程即可求得另一交點(diǎn)D的坐標(biāo)；
（3）首先根據(jù)拋物線的解析式確定拋物線的對(duì)稱軸，然后得到A關(guān)于對(duì)稱軸x=2的對(duì)稱點(diǎn)為點(diǎn)D，連接BD，則直線BD與對(duì)稱軸x=2的交點(diǎn)即為點(diǎn)P，利用待定系數(shù)法確定直線BD的解析式后即可確定點(diǎn)P的坐標(biāo)．

解答：解：（1）把A（1，0），B（0，3），C（2，-1）代入y=ax²+bx+c，
得

a+b+c=0 c=3 4a+2b+c=-1

，
解得 

a=1 b=-4 c=3.

，
所以拋物線的解析式為y=x²-4x+3．
（2）令x²-4x+3=0，解得x₁=1，x₂=3．
∵點(diǎn)A的坐標(biāo)為（1，0），
∴點(diǎn)D的坐標(biāo)為（3，0）．
（3）存在．
由（1）知該拋物線的對(duì)稱軸為x=-

b

2a

=-

-4

2×1

=2，
點(diǎn)A關(guān)于對(duì)稱軸x=2的對(duì)稱點(diǎn)為點(diǎn)D，連接BD，則直線BD與對(duì)稱軸x=2的交點(diǎn)即為點(diǎn)P．
令直線BD的解析式為y=kx+b，代入點(diǎn)B（0，3）和點(diǎn)D（3，0），
得

b=3 3k+b=0

，
解得

b=3 k=-1.

所以直線BD的解析式為y=-x+3．
當(dāng)x=2時(shí)，y=-2+3=1，
所以點(diǎn)P（2，1）．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了二次函數(shù)的綜合知識(shí)，題目中設(shè)計(jì)到了最短線路問題、待定系數(shù)法確定一次函數(shù)和二次函數(shù)的解析式問題，綜合性較強(qiáng)，難度較大．