Question

7．如圖．點(diǎn)A、B、C為⊙O上三點(diǎn)，AC為⊙O的直徑，AB∥CD，AC=CD．連接BD交AC于點(diǎn)E，交⊙O于點(diǎn)F，AB=$\sqrt{7}$，BC=3．
（1）求線段BD的長；
（2）線段CF的長為$\frac{16}{5}$（直接填空）

Answer 1

分析 （1）根據(jù)直徑所對(duì)的圓周角是直角可得∠ABC=90°，然后利用勾股定理列式求出AC，再根據(jù)兩直線平行，同旁內(nèi)角互補(bǔ)求出∠BCD=90°，然后利用勾股定理列式計(jì)算即可得解；
（2）連接AF，根據(jù)直徑所對(duì)的圓周角是直角可得∠AFC=90°，再根據(jù)同弧所對(duì)的圓周角相等可得∠CBD=∠CAF，然后求出△ACF和△BDC相似，利用相似三角形對(duì)應(yīng)邊成比例列式計(jì)算即可得解．

解答 解：（1）∵AC為⊙O的直徑，
∴∠ABC=90°，
在Rt△ABC中，由勾股定理得，AC=$\sqrt{A{B}^{2}+B{C}^{2}}$=$\sqrt{（\sqrt{7}）^{2}+{3}^{2}}$=4，
∵AC=CD，
∴CD=4，
∵AB∥CD，
∴∠BCD=180°-∠ABC=180°-90°=90°，
在Rt△BCD中，由勾股定理得，BD=$\sqrt{B{C}^{2}+C{D}^{2}}$=$\sqrt{{3}^{2}+{4}^{2}}$=5；

（2）如圖，連接AF，
∵AC為⊙O的直徑，
∴∠AFC=90°，
∴∠BCD=AFC=90°，
又∵∠CBD=∠CAF（同弧所對(duì)的圓周角相等），
∴△ACF∽△BDC，
∴$\frac{AC}{BD}$=$\frac{CF}{CD}$，
即$\frac{4}{5}$=$\frac{CF}{4}$，
解得CF=$\frac{16}{5}$．
故答案為：$\frac{16}{5}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了相似三角形的判定與性質(zhì)，圓周角定理，勾股定理，作輔助線，構(gòu)造出相似三角形是解題的關(guān)鍵．