Question

過正方形ABCD的頂點A任引一直線交BC和DC的延長線于P、Q．求證：為定值．

Answer 1

【答案】分析：首先設正方形的邊長為a，BP的長為x，根據(jù)相似三角形對應邊的比相等，用含a和x的式子表示CQ，然后用勾股定理求出PQ²，再運用相似三角形對應邊的比表示出和，進行計算證明得到+的值是一個定值，是正方形邊長的平方分之一．
解答：證明：如圖：設正方形的邊長為a，BP=x，則CP=a-x，
∵△ABP∽△QCP，∴=，即：=，得：CQ=．
PQ²=PC²+CQ²=（a-x）²+=．
∵==，∴=．
又==，∴=．
∴+=+=．
∴+=•=•=．
而a是正方形的邊長，所以+為定值．
點評：本題考查的是相似三角形的判定與性質，根據(jù)正方形的對邊平行且相等，得到相似三角形，運用相似三角形的性質，對應邊的比相等進行計算，可以證明+為定值．