Question

8．如圖，在△ABC中，∠BAC=80°，AB=AC，點(diǎn)P是ABC內(nèi)一點(diǎn)，且∠PBC=10°，∠PCB=30°，則∠PAB的度數(shù)為70°．

Answer 1

分析 在BC下方取一點(diǎn)D，使得三角形ABD為等邊三角形，連接DP、DC，根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)得到AD=AB=AC，求出∠DAC、∠ACD、∠ADC的度數(shù)，根據(jù)三角形的內(nèi)角和定理求出∠ABC=∠ACB=50°，即∠CDB=140°=∠BPC，再證△BDC≌△BPC，得到PC=DC，進(jìn)一步得到等邊△DPC，推出△APD≌△APC，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得到∠DAP=∠CAP=10°，即可求出答案．

解答 解：在BC下方取一點(diǎn)D，使得三角形ABD為等邊三角形，連接DP、DC
∴AD=AB=AC，
∠DAC=∠BAC-∠BAD=20°，
∴∠ACD=∠ADC=80°，
∵AB=AC，∠BAC=80°，
∴∠ABC=∠ACB=50°，
∴∠CDB=140°=∠BPC，
又∵∠DCB=30°=∠PCB，BC=CB，
在△BDC和△BPC中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠CDB=∠BPC}\\{∠DCB=∠PCB}\\{BC=BC}\end{array}\right.$，
∴△BDC≌△BPC，
∴PC=DC，
又∵∠PCD=60°，
∴△DPC是等邊三角形，
在△APD和△APC中，
$\left\{\begin{array}{l}{AD=AC}\\{AP=AP}\\{PD=PC}\end{array}\right.$，
∴△APD≌△APC，
∴∠DAP=∠CAP=10°，
∴∠PAB=∠DAP+∠DAB=10°+60°=70°．
故答案為：70°．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查對(duì)等腰三角形的性質(zhì)，等邊三角形的性質(zhì)，全等三角形的性質(zhì)和判定等知識(shí)點(diǎn)的理解和掌握，作輔助線得到全等三角形是解此題的關(guān)鍵，此題是一個(gè)拔高的題目，有一點(diǎn)難度．