Question

已知矩形ABCD中，AB=3，對角線AC的垂直平分線與∠ABC外角的平分線交于N，若BN=

2

，則BC的長為

 

．

Answer 1

考點：矩形的性質(zhì),線段垂直平分線的性質(zhì)

專題：

分析：連接AN，CN，過N作MN⊥AM于M，根據(jù)勾股定理可求出AN的長，在△ANC中利用余弦定理即可求出BC的長．

解答：解：連接AN，CN，過N作MN⊥AM于M，
∵∠ABC外角的平分線交于N，若BN=

2

，
∴BM=MN=1，
∴AM=AB+BM=3+1=4，
∴AN=

AM2+MN2

=

17

，
∵ON是AC的垂直平分線，
∴AN=CN，
根據(jù)余弦定理得：
BC²+BN²-2BC×BN×cos45°=AN²，
BC²-2BC-15=（BC-5）（BC+3）=0，
∴BC=5，
故答案為：5．

點評：本題考查了矩形的性質(zhì)、垂直平分線的性質(zhì)以及勾股定理和余弦定理的運用，題目的綜合性較強(qiáng)，難度較大．