Question

如圖，在平面直角坐標系中，已知點A（0，1）、B（3，5），以AB為邊作如圖所示的正方形ABCD，頂點在坐標原點的拋物線恰好經(jīng)過點D，P為拋物線上的一動點．

（1）直接寫出點D的坐標；
（2）求拋物線的解析式；
（3）求點P到點A的距離與點P到x軸的距離之差；
（4）當點P位于何處時，△APB的周長有最小值，
并求出△APB的周長的最小值．

Answer 1

（1）D（－4，4）…………………………………………… (2分)
（2）設(shè)拋物線的解析式是y＝ax² …………………………………………… (3分)
過點D（－4，4），a＝，∴y＝x² ………………………………… (4分)
（3）設(shè)點P（t，t²），作PH⊥x軸于H，則PH＝t²…………………… (5分)
另PA＝＝t²＋1……………………………………… (6分)
故點P到點A的距離與點P到x軸的距離之差為1. ………………… (7分)
（4）即使PB＋PA最小，而PA＝PH＋1，…………………………………(8分)
作BE⊥x軸于E，與拋物線的交點即為點P ………………………… (9分)
此時P（3，）………………………………………………………… (10分)
則PB＋PA＝PB＋PH＋1＝BE＋1＝5＋1＝6
△APB的周長的最小值＝5＋6＝11.……………………………………(11分)

解析