Question

14．如圖，△ABC中，∠C=90°，AC=$\frac{4}{5}$，BC=$\frac{6}{5}$，以AB為邊向外作正方形ABDE，若此正方形中心為點(diǎn)O，則線段OC長(zhǎng)為（　�。�

• A． 2
• B． 1.5
• C． $\sqrt{2}$
• D． $\sqrt{3}$

Answer 1

分析 如圖，作OM⊥BC于E，OF⊥CA于F，連接OA，OB，OC．只要證明△OAF≌△OBM，推出AF=MB，OF=OM，推出四邊形OFCM是正方形，設(shè)OM=MC=CF=OF=x，列出方程即可解決問(wèn)題．

解答 解：如圖，作OM⊥BC于E，OF⊥CA于F，連接OA，OB，OC．

∵∠C=∠OFC=∠OMC=90°，
∴四邊形OFCM是矩形，
∴∠FOE=∠AOB=90°，
∴∠FOA=∠EOB，
∵四邊形AEDB是正方形，
∴OA=OB，
在△OAF和△OBM中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠OFA=∠OMB}\\{∠FOA=∠MOB}\\{OA=OB}\end{array}\right.$，
∴△OAF≌△OBM，
∴AF=MB，OF=OM，
∴四邊形OFCM是正方形，設(shè)OM=MC=CF=OF=x，
∴x-$\frac{4}{5}$=$\frac{6}{5}$-x，
∴x=1，
∴OC=$\sqrt{2}$x=$\sqrt{2}$．
故選C．

點(diǎn)評(píng) 本題考查正方形的性質(zhì)、全等三角形的判定和性質(zhì)，等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是學(xué)會(huì)添加常用輔助線，構(gòu)造全等三角形，學(xué)會(huì)設(shè)未知數(shù)，構(gòu)建方程解決問(wèn)題，屬于中考�？碱}型．