Question

15．如圖，在直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠A=90°，AB=8，BC=21，AD=16．動點P從點B出發(fā)，沿射線BC的方向以每秒2個單位長度的速度運動，動點Q從點A同時出發(fā)，在線段AD上以每秒1個單位長度的速度向終點D運動．設點Q運動的時間為t（秒）．

（1）當t為何值時，以P，C，D，Q為頂點的四邊形是平行四邊形？
（2）分別求出當t為何值時，①PD=PQ，②DQ=PQ．

Answer 1

分析 （1）分點P未到達點C時和點P在BC延長線上兩種情況，用t表示出QD、CP，然后根據平行四邊形對邊相等列出方程求解即可；
（2）①PD=PQ時，過P作PE⊥AD于E，根據等腰三角形三線合一的性質用t表示出QE，然后表示出AE，再根據AE=AP列出方程求解；
②DQ=PQ，過Q作QF⊥BC于F，用t表示出FP，在Rt△QPF中，利用勾股定理列出方程求解即可．

解答 解：（1）①如圖1，P未到達C點時，
∵四邊形PCDQ是平行四邊形，
∴16-t=21-2t，
解得t=5；
②點P在BC延長線上時，
∵四邊形CPDQ是平行四邊形，
∴16-t=2t-21，
解得t=$\frac{37}{3}$，
綜上所述，以P、Q、C、D為頂點的四邊形是平行四邊形，t的值是5或$\frac{37}{3}$；

（2）①如圖2，若PD=PQ，過P作PE⊥AD于E，
則QD=16-t，QE=$\frac{1}{2}$QD=$\frac{1}{2}$（16-t），
AE=AQ+QE=t+$\frac{1}{2}$（16-t）=$\frac{1}{2}$（16+t），
∵AE=BP，
∴$\frac{1}{2}$（16+t）=2t，
解得t=$\frac{16}{3}$；
②如圖3，若DQ=PQ，過Q作QF⊥BC于F，
則QF=8，FP=2t-t=t，
在Rt△QPF中，由勾股定理得：
QF²+FP²=QP²，
即8²+t²=（16-t）²，
解得t=6．

點評 本題考查了梯形的性質，平行四邊形的對邊相等的性質，等腰三角形的判定與性質，勾股定理的應用，綜合題，但難度不大，作輔助線利用等腰三角形三線合一的性質以及勾股定理是解題的關鍵．