Question

【題目】如圖，在中，，，.動點(diǎn)以每秒5個單位長度的速度從點(diǎn)出發(fā)，沿的方向向終點(diǎn)運(yùn)動.點(diǎn)關(guān)于點(diǎn)的對稱點(diǎn)為，過點(diǎn)作于點(diǎn)，以、為邊作，設(shè)點(diǎn)的運(yùn)動時間為.

（1）當(dāng)點(diǎn)在上運(yùn)動時，用含的代數(shù)式表示的長.

（2）當(dāng)為菱形時，求的值.

（3）設(shè)的面積為，求與之間的函數(shù)關(guān)系式.

（4）作點(diǎn)關(guān)于直線的對稱點(diǎn)，當(dāng)點(diǎn)落在內(nèi)部時，直接寫出的取值范圍.

Answer 1

【答案】（1）；（2）或；（3）當(dāng)時，；當(dāng)時， ；（4）或.

【解析】

（1）先證△APQ∽△ABC，根據(jù)相似比可得出答案；

（2）當(dāng)為菱形時，即PQ=2PC，分兩種情況討論：①點(diǎn)P在AC上時，②點(diǎn)P在BC上時，分別求解即可；

（3）分兩種情況討論即可：①當(dāng)點(diǎn)P在AC上時，②當(dāng)點(diǎn)P在BC上時，分別求出的高即可解決問題；

（4）分兩種情況討論即可：①當(dāng)點(diǎn)P在AC上時，②當(dāng)點(diǎn)P在BC上時，找到兩種情況的臨界值即可.

解：（1）∵，，，

∴根據(jù)勾股定理有，

∵動點(diǎn)以每秒5個單位長度的速度從點(diǎn)出發(fā)，

∴AP=5t，

∵PQ⊥AB，

∴∠AQP=90°，

在△APQ與△ABC中，∠AQP=∠ACB，∠A=∠A，

∴△APQ∽△ABC，

∴，

∴，

∴當(dāng)點(diǎn)在上運(yùn)動時，；

（2）根據(jù)題意可知AP=5t，

∴PC=15-5t，

∵關(guān)于點(diǎn)的對稱點(diǎn)為，

∴PC=CD，

∴PD=2PC=30-10t，

當(dāng)為菱形時，即PQ=PD時，

①當(dāng)點(diǎn)P在AC上時，（），

解得；

②當(dāng)點(diǎn)P在BC上時，PB=35-5t，PC=5t-15，PD=10t-30，

在△BPQ與△BAC中，∠BQP=∠BCA=90°，∠B=∠B，

∴△BPQ∽△BAC，

∴，

∴，

∴當(dāng)點(diǎn)P在BC上時，，

解得；

（3）①當(dāng)點(diǎn)P在AC上時，即時，如圖，作QH⊥AC于點(diǎn)H，

由（1）（2）可知AB=25，△APQ∽△ABC ，AP=5t，PQ=4t，PC=15-5t，PD=30-10t，

∴，

∴AQ=3t，

∵，

∴，

∴；

②當(dāng)點(diǎn)P在BC上時，即時，如圖，作QF⊥BC于點(diǎn)F，

由（2）可知AB=25，△BPQ∽△BAC，PB=35-5t，PC=5t-15，PD=10t-30，PQ=3（7-t），

∴，

∴，

∵，

∴，

∴；

（4）結(jié)合（3）①當(dāng)點(diǎn)P在AC上時，此時，如下圖，

當(dāng)恰好在AC上時，此時根據(jù)對稱的性質(zhì)和平行四邊形的性質(zhì)，可知四邊形與四邊形是平行四邊形，所以，又因為AP=5t，所以有，解得，所以此時t的取值范圍；

②當(dāng)點(diǎn)P在BC上時，此時時，如下圖，

當(dāng)恰好在BC上時，此時根據(jù)對稱的性質(zhì)和平行四邊形的性質(zhì)，可知四邊形與四邊形是平行四邊形，所以，又因為PC=5t-15，PD=10t-30，，所以有，解得，所以此時t的取值范圍.