Question

4．如圖，AB是⊙O的直徑，點(diǎn)C在⊙O上，CD⊥AB于D，AD=2，CD=4．∠BCD的角平分線CE與過(guò)點(diǎn)B的切線l交過(guò)點(diǎn)E．
（1）求⊙O半徑的長(zhǎng)；     
（2）求點(diǎn)E到直線BC的距離．

Answer 1

分析 （1）如圖1中，連接OC，設(shè)⊙O的半徑為r．在Rt△CDO中，利用勾股定理即可解決問(wèn)題．
（2）如圖2中，過(guò)點(diǎn)E作EF⊥CD，垂足為點(diǎn)F，EG⊥CB，垂足為G，則∠EFD=90°，只要證明四邊形BDFE是矩形，求出EF，利用角平分線的性質(zhì)可得EG=EF即可解決問(wèn)題．

解答 解：（1）如圖1中，連接OC，設(shè)⊙O的半徑為r．

∵AD=2，OD=r-2，
∵CD⊥AB，
∴∠CDO=90°，
在Rt△CDO中，∵CD²+DO²=CO²，
∴4²+（r-2）²=r²，
∴r=5，
⊙O的半徑為5．

（2）如圖2中，過(guò)點(diǎn)E作EF⊥CD，垂足為點(diǎn)F，EG⊥CB，垂足為G，則∠EFD=90°，

∵直線l切⊙O于B，
∴AB⊥l，
∴∠DBE=90°，
∵CD⊥AB，
∴∠BDF=90°，
∴四邊形BDFE是矩形，
∴EF=BO+OD=8，
∵點(diǎn)E在∠BCD的平分線上，
∴EG=EF=8．
∴點(diǎn)E到直線BC的距離為8．

點(diǎn)評(píng) 本題考查切線的性質(zhì)、勾股定理、角平分線的性質(zhì)定理等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是學(xué)會(huì)添加常用輔助線，熟練應(yīng)用所學(xué)知識(shí)解決問(wèn)題，屬于基礎(chǔ)題，中考�？碱}型．