Question

如圖，AD是△ABC（AB＞AC）的角平分線，AD的中垂線和BC的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)E，求證：DE²=BE•CE．

Answer 1

考點(diǎn)：相似三角形的判定與性質(zhì),全等三角形的判定與性質(zhì),線段垂直平分線的性質(zhì)

專題：證明題

分析：AD的中垂線交AC于F點(diǎn)，連接DF，AE，結(jié)合條件可證得DF∥AB，則有∠B=∠FDE，再結(jié)合條件可證得△DFE≌△AFE，能得到∠B=∠FAE，可證得△AEC∽△BEA，從而得到線段的比例關(guān)系，證得結(jié)論．

解答：
證明：AD的中垂線交AC于F點(diǎn)，聯(lián)結(jié)DF，AE
∴AF=FD（中垂線）∠ADF=∠DAF
又∵∠BAD=∠DAF（角平分線）
∴∠BAD=∠ADF
∴DF∥AB （內(nèi)錯(cuò)角相等，兩直線平行）
∴∠B=∠FDE
AE=DE（中垂線）
在△DFE和△AFE中，

FD=FA ED=EA EF=EF

，
∴△DFE≌△AFE（SSS）
∴∠FDE=∠FAE
即∠B=∠FAE
∴△AEC∽△BEA
∴

AE

BE

=

EC

EA

∴AE²=BE×CE
∴DE²=BE×CE．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查三角形相似的判定和性質(zhì)，證明的關(guān)鍵是借助條件尋找三角形相似的條件．