Question

如圖，在Rt△OAB中，∠A=90°，∠ABO=30°，OB=，邊AB的垂直平分線CD分別與AB、x軸、y軸交于點(diǎn)C、G、D。

（1）求點(diǎn)G的坐標(biāo)；
（2）求直線CD的解析式；
（3）在直線CD上和平面內(nèi)是否分別存在點(diǎn)Q、P，使得以O(shè)、D、P、Q為頂點(diǎn)的四邊形是菱形？若存在，求出點(diǎn)Q得坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由。

Answer 1

解：（1）∵DC是AB垂直平分線，OA垂直AB， ∴G點(diǎn)為OB的中點(diǎn) ∵ ∴。
（2）過點(diǎn)C作CH⊥x軸于點(diǎn)H 在Rt△ABO中，∠ABO=30°， ∴ 即 又∵CD垂直平分AB ∴BC=2， 在Rt△CBH中，CH=BC=1， ∴ ∴ ∵∠DGO=60° ∴ ∴ ∴D（0，4） 設(shè)直線CD的解析式為：y=kx+b 則 解得 ∴。
（3）存在點(diǎn)Q、P，使得以O(shè)、D、P、Q為頂點(diǎn)的四邊形是菱形 ①如圖，當(dāng)OD=DQ=QP=OP=4時(shí)，四邊形DOPQ為菱形 設(shè)QP交x軸于點(diǎn)E，在Rt△OEP中，OP=4，∠OPE=30° ∴OE=2， ∴
②如圖，當(dāng)OD=DQ=QP=OP=4時(shí)，四邊形DOPQ為菱形， 延長QP交x軸于點(diǎn)F，在Rt△POF中，OP=4，∠FPO=30° ∴ ∴ ∴
③如圖，當(dāng)PD=DQ=QO=OP=時(shí)，四邊形DOPQ為菱形， 在Rt△DQM中，∠MDQ=30°， ∴ ∴。
④如圖，當(dāng)OD=DQ=QP=OP=4時(shí)，四邊形DOPQ為菱形， 設(shè)PQ交x軸于點(diǎn)N，此時(shí)∠OQP=∠ODQ=30° 在Rt△ONQ中， ∴ ∴ 綜上所述，滿足條件的點(diǎn)Q共有四點(diǎn)：，（，-2）。