Question

如圖，

AC

是劣弧，M是

AC

的中點(diǎn)，B為

AM

上任意一點(diǎn)．自M向BC弦引垂線，垂足為D，求證：AB+BD=DC．

Answer 1

考點(diǎn)：圓周角定理,全等三角形的判定與性質(zhì),等腰三角形的判定與性質(zhì),圓心角、弧、弦的關(guān)系

專題：證明題

分析：首先在CD上取點(diǎn)N，使CN=AB，連接CM，MN，然后證明△ABM≌△CNM，從而得到BM=MN，再根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)可得BD=ND，進(jìn)而可得AB+BD=DC．

解答：證明：在CD上取點(diǎn)N，使CN=AB，連接CM，MN
∵M(jìn)是

AC

的中點(diǎn)，
∴

AM

=

CM

，
∴AM=CM（等弧對(duì)等弦），
又∵∠BAM=∠BCM，
在△ABM和△CNM中，

CN=AB ∠BAM=∠BCM AM=CM

，
∴△ABM≌△CNM（SAS），
∴BM=MN，
∴△BMN為等腰三角形（BN為底），
又∵M(jìn)D⊥BN，
∴D為BN中點(diǎn)（等腰三角形三線合一），
∴BD=DN
∴AB+BD=CD．

點(diǎn)評(píng)：此題主要考查了圓周角定理，以及全等三角形的判定與性質(zhì)，關(guān)鍵是正確作出輔助線．