Question

11．已知兩個正整數(shù)之和為432，這兩個正整數(shù)的最小公倍數(shù)與最大公約數(shù)之和為7776．則這兩個正整數(shù)的乘積是46620．

Answer 1

分析 根據(jù)兩數(shù)的最小公倍數(shù)的意義及求法、最大公因數(shù)的意義及求法，弄清數(shù)量關系，設出這兩個數(shù)，然后進行推理求解．

解答 解：設a、b兩數(shù)的最大公約數(shù)M，令兩數(shù)為a=AM、b=BM，AB互質，最小公倍數(shù)為ABM
AM+BM=（A+B）M=432=2⁴×3³ …①
ABM+M=（AB+1）M=7776=2⁵×3⁵ …②
則②÷①得（AB+1）÷（A+B）=2×3²=18
AB+1=18A+18B
等式右為偶數(shù)，則AB奇數(shù)，則A、B必然同為奇數(shù)．
（B-18）A=18B-1
A=（18B-1）÷（B-18）=（18B-324+323）÷（B-18）=18+323÷（B-18）
323=17×19 能被B-18整除，則有：
①B-18=17，B=35，A=37
或B-18=19，B=37，A=35
M=432÷（35+37）=6
兩個數(shù)就是 a=35×6、b=37×6
 或交換順序兩個數(shù)的乘積=35×6×37×6=（7776-6）×6=46620
②B-18=323，B=341，A=1
 M=432÷（323+1）不為整數(shù)，舍棄
綜上，ab兩個數(shù)是210、222，其乘積為46620．
答：a和b的乘積是46620，
故答案為：46620．

點評 此題解題的關鍵是理解題意，弄清數(shù)量間的關系，明確最大公約數(shù)和最小公倍數(shù)的含義，進而推理計算得出結論．