Question

如圖：在△ABC中，∠C=90°，AC=BC，D是斜邊AB的中點(diǎn)，點(diǎn)E、F分別是邊AC、BC上兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，且ED⊥DF．
（1）當(dāng)E、F分別在AC、BC邊上移動(dòng)時(shí)，并保持∠EDF=90°，DE、DF是否相等？請證明你的結(jié)論．
（2）當(dāng)E、F分別在AC、BC上移動(dòng)時(shí)，并保持∠EDF=90°，S_{四邊形DECF}會(huì)隨著變化嗎？請證明你的結(jié)論．
（3）S_{四邊形DECF}=5cm²時(shí)，求AC的長．

Answer 1

（1）DE=DF．
理由如下：如圖，連接CD，
∵AC=BC，D是AB的中點(diǎn)，
∴CD是∠ACB的平分線，
作DM⊥AC，DN⊥BC，垂足分別為點(diǎn)M、N，
則∠DME=∠DNF=90°，DM=DN（角平分線上的點(diǎn)到角的兩邊距離相等），
又∵∠C=90°，
∴四邊形CMDN是正方形，
∴∠MDN=90°，
∴∠MDF+∠FDN=90°，
∵∠EDF=90°，
∴∠EDM+∠MDF=90°，
∴∠EDM=∠FDN，
在△DEM和△DFN中，
∵

∠DME=∠DNF=90° DM=DN ∠EDM=∠FDN

，
∴△DEM≌△DFN（ASA），
∴DE=DF；

（2）S_{四邊形DECF}不會(huì)變化．
理由如下：根據(jù)（1）可得△DEM≌△DFN，
所以S_△DEM=S_△DFN，
所以S_{四邊形DECF}=S_{正方形CMDN}，
∵點(diǎn)D是斜邊AB邊的中點(diǎn)，
∴CD=

1

2

AB（不變），
∴正方形CMDN的面積不變，
∴S_{四邊形DECF}不會(huì)變化；

（3）∵S_{四邊形DECF}=5cm²，
∴

1

2

CD²=5（正方形的面積等于對角線乘積的一半），
解得CD=

10

，
AC=

2

CD=

2

×

10

=2

5

（等腰直角三角形斜邊等于直角邊的

2

倍）．