Question

如圖，已知直線l₁∥l₂，l₃、l₄和l₁、l₂分別交于點A、B、C、D，點P在直線l₃或l₄上且不與點A、B、C、D重合．記∠AEP=∠1，∠PFB=∠2，∠EPF=∠3．
（1）若點P在圖（1）位置時，求證：∠3=∠1+∠2；
（2）若點P在圖（2）位置時，請直接寫出∠1、∠2、∠3之間的關系；
（3）若點P在圖（3）位置時，寫出∠1、∠2、∠3之間的關系并給予證明；
（4）若點P在C、D兩點外側運動時，請直接寫出∠1、∠2、∠3之間的關系．

Answer 1

解：（1）證明：過P作PQ∥l₁∥l₂，
由兩直線平行，內錯角相等，可得：
∠1=∠QPE、∠2=∠QPF；
∵∠3=∠QPE+∠QPF，
∴∠3=∠1+∠2．

（2）∠3=∠2-∠1；
證明：過P作直線PQ∥l₁∥l₂，
則：∠1=∠QPE、∠2=∠QPF；
∵∠3=∠QPF-∠QPE，
∴∠3=∠2-∠1．


（3）∠3=360°-∠1-∠2．
證明：過P作PQ∥l₁∥l₂；
同（1）可證得：∠3=∠CEP+∠DFP；
∵∠CEP+∠1=180°，∠DFP+∠2=180°，
∴∠CEP+∠DFP+∠1+∠2=360°，
即∠3=360°-∠1-∠2．

（4）過P作PQ∥l₁∥l₂；
①當P在C點上方時，
同（2）可證：∠3=∠DFP-∠CEP；
∵∠CEP+∠1=180°，∠DFP+∠2=180°，
∴∠DFP-∠CEP+∠2-∠1=0，
即∠3=∠1-∠2．
②當P在D點下方時，
∠3=∠2-∠1，解法同上．
綜上可知：當P在C點上方時，∠3=∠1-∠2，當P在D點下方時，∠3=∠2-∠1．
分析：此題四個小題的解題思路是一致的，過P作直線l₁、l₂的平行線，利用平行線的性質得到和∠1、∠2相等的角，然后結合這些等角和∠3的位置關系，來得出∠1、∠2、∠3的數量關系．
點評：此題主要考查的是平行線的性質，能夠正確地作出輔助線，是解決問題的關鍵．