Question

17．對(duì)于兩個(gè)已知圖形G₁、G₂，在G₁上任取一點(diǎn)P，在G₂上任取一點(diǎn)Q，當(dāng)線段PQ的長(zhǎng)度最小時(shí)，我們稱這個(gè)最小長(zhǎng)度為G₁、G₂的“密距”．例如，如上圖，A（-2，3），B（1，3），C（1，0），則點(diǎn)A與射線OC之間的“密距”為$\sqrt{13}$，點(diǎn)B與射線OC之間的“密距”為3．如果直線y=x-1和雙曲線y=$\frac{k}{x}$之間的“密距”為$\frac{3\sqrt{2}}{2}$，則k值為（　　）

• A． k=4
• B． k=-4
• C． k=6
• D． k=-6

Answer 1

分析 由題意設(shè)雙曲線上的D到直線的距離最近，過(guò)D作直線l和直線y=x-1的平行線，結(jié)合條件可求得l的解析式，聯(lián)立l與雙曲線解析式，則該方程組只有一組解，可求得k的值．

解答 解：
根據(jù)“密距”的定義可知雙曲線圖象在二、四象限，且離第四象限最近，
設(shè)雙曲線上點(diǎn)D到直線y=x-1距離最近，如圖，設(shè)直線y=x-1與y軸交于點(diǎn)E，過(guò)D作直線y=x-1的平行線，交y軸于點(diǎn)G，過(guò)D作直線y=x-1的垂線，垂足為E，過(guò)E作EH⊥DG，垂足為H，

則由題意可知DF=EH=$\frac{3\sqrt{2}}{2}$，
又∠OEF=45°，
∴∠EGH=45°，
∴EH=HG=$\frac{3\sqrt{2}}{2}$，
∴EG=$\sqrt{2}$EH=$\sqrt{2}$×$\frac{3\sqrt{2}}{2}$=3，
又OE=1，
∴OG=4，
∴直線DG的解析式為y=x-4，
聯(lián)立直線DG和雙曲線解析式可得$\left\{\begin{array}{l}{y=\frac{k}{x}}\\{y=x-4}\end{array}\right.$，消去y整理可得x²-4x-k=0，
∵直線DG與雙曲線只有一個(gè)交點(diǎn)，
∴方程x²-4x-k=0有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根，
∴△=0，即（-4）²+4k=0，解得k=-4，
故選B．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了反比例函數(shù)與一次函數(shù)的交點(diǎn)問(wèn)題，根據(jù)所給定義結(jié)合圖形求得與雙曲線只有一個(gè)交點(diǎn)的直線解析式是解題的關(guān)鍵．