Question

11．如圖，圓E是三角形ABC的外接圓，∠BAC=45°，AO⊥BC于O，且BO=2，CO=3，分別以BC、AO所在直線建立x軸．
（1）求三角形ABC的外接圓直徑；
（2）求過ABC三點(diǎn)的拋物線的解析式；
（3）設(shè)P是（2）中拋物線上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，且三角形AOP為直角三角形，則這樣的點(diǎn)P有幾個(gè)？（只需寫出個(gè)數(shù)，無需解答過程）

Answer 1

分析 （1）如圖1中，連接EB、EC．由BC=OB+OC=5，∠BEC=2∠BC=90°，可知EB=EC=$\frac{5\sqrt{2}}{2}$．
（2）如圖2中，作EM⊥BC于M，EN⊥OA于N，連接AE，則四邊形EMON是矩形．利用勾股定理求出點(diǎn)A、B、C三點(diǎn)坐標(biāo)，利用待定系數(shù)法即可解決問題．
（3）①以O(shè)A為直徑畫圓與拋物線有4個(gè)交點(diǎn)，根據(jù)直徑所對(duì)的圓周角是直角，可知這樣有4個(gè)點(diǎn)P滿足條件．②當(dāng)PA⊥OA時(shí)，有一個(gè)點(diǎn)P滿足條件．③當(dāng)PO⊥OA時(shí)，有兩個(gè)點(diǎn)P滿足條件．

解答 解：（1）如圖1中，連接EB、EC．

∵BC=OB+OC=5，∠BEC=2∠BC=90°，
∴EB=EC=$\frac{5\sqrt{2}}{2}$，
∴⊙E的直徑為$5\sqrt{2}$．

（2）如圖2中，作EM⊥BC于M，EN⊥OA于N，連接AE，則四邊形EMON是矩形．

在Rt△EMC中，EM=ON=$\sqrt{E{C}^{2}-C{M}^{2}}$=$\sqrt{（\frac{5\sqrt{2}}{2}）^{2}+（\frac{5}{2}）^{2}}$=$\frac{5}{2}$，OM=NE=OC-CM=$\frac{1}{2}$，
在Rt△EN中，AN=$\sqrt{A{E}^{2}-E{N}^{2}}$=$\sqrt{（\frac{5\sqrt{2}}{2}）^{2}-（\frac{1}{2}）^{2}}$=$\frac{7}{2}$，
∴OA=AN+ON=6，
∴A（0，6），B（-2，0），C（3，0），
設(shè)拋物線的解析式為y=a（x+2）（x-3），把（0，6）的坐標(biāo)代入得a=-1，
∴拋物線的解析式為y=-x²+x+6．

（3）如圖3中，

①以O(shè)A為直徑畫圓與拋物線有4個(gè)交點(diǎn)，根據(jù)直徑所對(duì)的圓周角是直角，可知這樣有4個(gè)點(diǎn)P滿足條件．
②當(dāng)PA⊥OA時(shí)，有一個(gè)點(diǎn)P滿足條件．
③當(dāng)PO⊥OA時(shí)，有兩個(gè)點(diǎn)P滿足條件．
所以滿足條件的點(diǎn)P有6個(gè)．

點(diǎn)評(píng) 本題考查二次函數(shù)綜合題、圓的有關(guān)知識(shí)、勾股定理、待定系數(shù)法等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是學(xué)會(huì)添加常用輔助線，構(gòu)造直角三角形解決問題，學(xué)會(huì)利用直徑所對(duì)的圓周角是直角尋找直角，所以中考?jí)狠S題．