Question

如圖，⊙C經(jīng)過(guò)原點(diǎn)且與兩坐標(biāo)軸分別交于點(diǎn)A和點(diǎn)B，點(diǎn)A的坐標(biāo)為（0，2），點(diǎn)B的坐標(biāo)為（，0），解答下列各題：
（1）求線段AB的長(zhǎng)；
（2）求⊙C的半徑及圓心C的坐標(biāo)；
（3）在⊙C上是否存在一點(diǎn)P，使得△POB是等腰三角形？若存在，請(qǐng)求出∠BOP的度數(shù)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

解：（1）∵A（0，2），B（2，0）
∴OA=2，OB=2；
Rt△OAB中，由勾股定理，得：AB==4；
（2）∵∠AOB=90°，
∴AB是⊙O的直徑；
∴C的半徑r=2；
過(guò)C作CE⊥y軸于E，則CE∥OB；
∴C是AB的中點(diǎn)，
∴CE是△AOB的中位線，
則OE=OA=1，CE=OB=，即C（，1）；
故⊙C的半徑為2，C（，1）；
（3）作OB的垂直平分線，交⊙C于M、N，交OB于D；
如圖；連接OC；由垂徑定理知：MN必過(guò)點(diǎn)C，即MN是⊙C的直徑；
∴M（，3），N（，﹣1）；
在Rt△OMD中，MD=3，OD=，∴∠BOM=60°；
∵M(jìn)N是直徑，∴∠MON=90°，∠BON=30°；
由于MN垂直平分OB，所以△OBM、△OBN都是等腰三角形，
因此M、N均符合P點(diǎn)的要求；
故存在符合條件的P點(diǎn)：P₁（，3），∠BOP₁=60°；
P₂（，﹣1），∠BOP₂=30°．