Question

已知：在△ABC中，∠C=90°，三邊長為a，b，c，△ABC的內切圓半徑為r，求證：
（1）r=

1

2

（a+b-c）；
（2）r=

ab

a+b+c

．

Answer 1

考點：三角形的內切圓與內心

專題：證明題

分析：（1）作OD⊥AB于D，OE⊥AC于E，OF⊥BC于F，如圖，根據(jù)切線的性質得OD=OE=OF=r，再證明四邊形CEOF為正方形，所以CE=CF=r，然后根據(jù)切線長定理得AE=AD=b-r，BF=BD=a-r，則b-r+a-r=c，所以r=

1

2

（a+b-c）；
（2）連結OA、OB、OC，如圖，根據(jù)三角形面積公式和S_△AOB+S_△BOC+S_△AOC=S_△AOB得到

1

2

•r•c+

1

2

•r•a+

1

2

•r•b=

1

2

•a•b，然后變形即可得到結論．

解答：證明：（1）作OD⊥AB于D，OE⊥AC于E，OF⊥BC于F，如圖，
∵⊙O為△ABC的內切圓，
∴OD=OE=OF=r，
∵∠ACB=90°，
∴四邊形CEOF為正方形，
∴CE=CF=r，
∴AE=AD=b-r，BF=BD=a-r，
∴b-r+a-r=c，
∴r=

1

2

（a+b-c）；
（2）連結OA、OB、OC，如圖，
∵S_△AOB+S_△BOC+S_△AOC=S_△AOB，
∴

1

2

•r•c+

1

2

•r•a+

1

2

•r•b=

1

2

•a•b，
∴r=

ab

a+b+c

．

點評：本題考查了三角形的內切圓與內心：與三角形各邊都相切的圓叫三角形的內切圓，三角形的內切圓的圓心叫做三角形的內心，這個三角形叫做圓的外切三角形．熟練運用切線的性質．