Question

如圖，正方形ABCD中，E是AD上一點（E與A、D不重合）．連接CE，將△CED繞點D順時針旋轉(zhuǎn)90°，得到△AFD．
（1）猜想CE和AF之間的關(guān)系，并進行證明．
（2）連接EF，若∠ECD=30°，求∠AFE的度數(shù)．

Answer 1

解：（1）CE=AF，且CE⊥AF
證明：如圖，∵△AFD是由△CED繞點D順時針旋轉(zhuǎn)90°而得到的．
∴△ADF≌△CDE，
∴CE=AF，∠1=∠2，DE=DF．
延長CE交AF于點G．
∵四邊形ABCD是正方形，∠CDA=90°．
又∠3=∠4，∠2+∠4+∠EGA=∠1+∠3+∠CDE=180°
∴∠EGA=∠CDE=90°
即CE⊥AF；

（2）∵∠1=30°，∠2=30°又∠ADF=90°，
∴∠AFD=60°
∵DE=DF，
∴∠EFD=45°
∴∠AFE=∠AFD-∠EFD=15°．
分析：（1）可利用角邊角證明CE，AF所在的2個直角三角形全等，進而證明這2條線段相等及相應(yīng)的2個銳角相等，延長CE交AF于點G，證明∠EGA為90°即可；
（2）由（1）中的全等易得∠DFA=∠3=60°，易得∠DFE=45°，相減即可得到所求角的度數(shù)．
點評：綜合考查了正方形的性質(zhì)及全等三角形的判定與性質(zhì)；注意兩條線段的關(guān)系包括數(shù)量關(guān)系與位置關(guān)系2種．用到的知識點為：考查兩條線段的大小關(guān)系，一般考慮相等，位置關(guān)系一般考慮平行或垂直；證明這兩條線段所在的三角形的全等是常用的方法．