Question

如圖，已知△ABC中，AB=AC，∠BAD=∠CAD，F(xiàn)為BA延長線上的一點，AE平分∠FAC，DE∥AB交AE于E．
（1）求證：AE∥BC
（2）求證：四邊形AECD是矩形；
（3）BC=6cm，，求AB的長．

Answer 1

解：（1）∵AB=AC，∠BAD=∠CAD，
∴AD⊥BC，
∴∠ADB=90°，
∵AE平分∠FAC，
∴∠EAD=90°，
∴AE∥BC；

（2）∵DE∥AB，AE∥BC，
∴四邊形ABDE是平行四邊形，
∴AE=BD，
∵BD=CD，
∴AE=CD，
∴四邊形AECD是平行四邊形，
∵∠ADC=90°，
∴四邊形AECD是矩形；

（3）∵BC=6cm，
∴CD=3cm，
∵，
∴AD=4，
∴AB=AC==5，
∴AB的長是5cm．
分析：（1）先根據(jù)已知條件求出AD⊥BC，再根據(jù)AE平分∠FAC，得出∠EAD=90°，從而證出AE∥BC；
（2）根據(jù)DE∥AB，AE∥BC，得出四邊形ABDE是平行四邊形，AE=BD，再根據(jù)BD=CD，得出AE=CD，四邊形AECD是平行四邊形，最后根據(jù)∠ADC=90°，即可證出四邊形AECD是矩形；
（3）根據(jù)BC=6cm，得出CD=3cm，再根據(jù)，得出AD=4，最后根據(jù)勾股定理求出AC的長，即可求出AB的長．
點評：此題考查了矩形的判定和性質(zhì)的綜合應用，用到的知識點是平行四邊形的判斷與性質(zhì)、等腰三角形的性質(zhì)、平行線的性質(zhì)、勾股定理等，關(guān)鍵是綜合利用有關(guān)性質(zhì)，得出結(jié)論，是中考命題的熱點．