Question

已知AD∥BC，AB=DC，BD=AC，M是AO中點，N是OB中點，∠BOC=60°，E是DC中點，求證：△EMN是等邊三角形．

Answer 1

考點：等邊三角形的判定

專題：證明題

分析：連接DM、CN，如圖，先根據(jù)等腰梯形的性質(zhì)得AB=DC，OA=OD，OB=OC，再由∠BOC=60°可判斷△OBC和△OAD都為等邊三角形，則根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)由
M、N分別為OA、OB的中點得到DM⊥OA，CN⊥OB，接著根據(jù)直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半得到ME=

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2

CD，NE=

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2

CD；然后利用三角形中位線性質(zhì)得到MN=

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2

AB=

1

2

CD，所以MN=ME=NE，于是可判斷△EMN為等邊三角形．

解答：證明：連接DM、CN，如圖，

∵在等腰梯形ABCD中，AD∥BC（BC＞AD），
∴AB=DC，OA=OD，OB=OC，
∵∠BOC=60°，
∴△OBC和△OAD都為等邊三角形，
∵M、N分別為OA、OB的中點，
∴DM⊥OA，CN⊥OB，
在Rt△CDE中，
∵點E為斜邊CD的中點，
∴ME=

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CD，
同理可得NE=

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2

CD，
∵M、N分別為OA、OB的中點，
∴MN為△OAB的中位線，
∴MN=

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2

AB，
∴MN=

1

2

CD，
∴MN=ME=NE，
∴△MNE為等邊三角形．

點評：本題考查了等腰梯形的性質(zhì)：等腰梯形是軸對稱圖形，它的對稱軸是經(jīng)過上下底的中點的直線；等腰梯形同一底上的兩個角相等；等腰梯形的兩條對角線相等．也考查了等邊三角形的判定與性質(zhì)、三角形中位線性質(zhì)和直角三角形斜邊上的中線性質(zhì)．