Question

13．如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，雙曲線y₁=$\frac{2}{x}$
（1）當(dāng)x＞0時，y₁＞0；
（2）直線y₂=-x+b，當(dāng)b=2$\sqrt{2}$時，直線與雙曲線有唯一公共點，問：bb＞2$\sqrt{2}$或b＜-2$\sqrt{2}$時，直線與雙曲線有兩個公共點；
（3）如果直線y₂=-x+b與雙曲線y₁=$\frac{2}{x}$交于A、B兩點，且點A的坐標(biāo)為（1，2），點B的縱坐標(biāo)為1．設(shè)E為線段AB的中點，過點E作x軸的垂線EF，交雙曲線于點F．求線段EF的長．

Answer 1

分析 （1）雙曲線的圖象落在x軸上方時，函數(shù)值大于0，根據(jù)圖象可知此時x＞0；
（2）將y=-x+b代入y=$\frac{2}{x}$，整理得出x²-bx+2=0，當(dāng)△=b²-8＞0時，直線與雙曲線有兩個公共點，解不等式即可；
（3）將y=1代入y₁=$\frac{2}{x}$，求出x的值，得到點B的坐標(biāo)，再根據(jù)中點坐標(biāo)公式求出點E的坐標(biāo)，將點E橫坐標(biāo)的值代入y₁=$\frac{2}{x}$，求出點F縱坐標(biāo)的值，進而求得線段EF的長．

解答 解：（1）根據(jù)圖象可得x＞0時，y₁＞0；

（2）將y=-x+b代入y=$\frac{2}{x}$，得$\frac{2}{x}$=-x+b，
整理得，x²-bx+2=0，
當(dāng)△=b²-8＞0時，直線與雙曲線有兩個公共點，
解得b＞2$\sqrt{2}$或b＜-2$\sqrt{2}$；

（3）將y=1代入y₁=$\frac{2}{x}$，得x=2，則點B的坐標(biāo)為（2，1），
∵點A的坐標(biāo)為（1，2），E為線段AB的中點，
∴點E的坐標(biāo)為（$\frac{3}{2}$，$\frac{3}{2}$），
當(dāng)x=$\frac{3}{2}$時，y₁=$\frac{2}{x}$=$\frac{4}{3}$，
∴EF=$\frac{3}{2}$-$\frac{4}{3}$=$\frac{1}{6}$．
故答案為＞0；b＞2$\sqrt{2}$或b＜-2$\sqrt{2}$．

點評 本題考查了反比例函數(shù)與一次函數(shù)的交點問題：求反比例函數(shù)與一次函數(shù)的交點坐標(biāo)，把兩個函數(shù)關(guān)系式聯(lián)立成方程組求解，若方程組有解則兩者有交點，方程組無解，則兩者無交點．也考查了函數(shù)圖象上點的坐標(biāo)特征，線段中點坐標(biāo)公式．