Question

將一副三角板按圖1中方式疊放，使三角板DEF的邊DE始終經(jīng)過點(diǎn)B，另兩邊分別與AB，BC邊交于點(diǎn)G和點(diǎn)H，且∠DBA=∠DHB．
（1）如圖1，若擺放后點(diǎn)H與點(diǎn)C重合，求證：GH=2DB．
（2）如圖2，若點(diǎn)H不與點(diǎn)C重合，請問（1）中的結(jié)論依然成立嗎？請說明理由．

Answer 1

考點(diǎn)：全等三角形的判定與性質(zhì)

專題：

分析：（1）延長BD、HA相交于點(diǎn)M，根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)可得AB=AH，再求出∠DBA=∠AHG，然后利用“角邊角”證明△ABM和△AHG全等，根據(jù)全等三角形對(duì)應(yīng)邊相等可得GH=BM，再求出∠DHB=∠AHG，再利用“角邊角”證明△BDH和△MDH全等，根據(jù)全等三角形對(duì)應(yīng)邊相等可得BD=DM，從而得證；
（2）過點(diǎn)H作HN∥AC交AB于N，延長與BD的延長線相交于點(diǎn)M，同（1）所求．

解答：（1）證明：如圖，∵△ABC是等腰直角三角形，點(diǎn)H與點(diǎn)C重合，
∴AB=AH，
∵∠DBA+∠BGD=90°，∠AHG+∠AGH=90°，
∴∠DBA=∠AHG，
在△ABM和△AHG中，

∠DBA=∠AHG AB=AH ∠BAM=∠HAG

，
∴△ABM≌△AHG（ASA），
∴GH=BM，
∵∠DBA=∠DHB，∠DBA=∠AHG，
∴∠DHB=∠AHG，
在△BDH和△MDH中，

∠DHB=∠AHG HD=HD ∠BDH=∠MDH=90°

，
∴△BDH≌△MDH（ASA），
∴BD=DM，
∴GH=2DB；

（2）解：結(jié)論依然成立．
如圖，過點(diǎn)H作HN∥AC交AB于N，延長與BD的延長線相交于點(diǎn)M，
∵△ABC是等腰直角三角形，
∴△BHN是等腰直角三角形，
∴HN=BN，
∵∠DBA+∠BGD=90°，∠NHG+∠NGH=90°，
∴∠DBA=∠NHG，
在△NBM和△NHG中，

∠DBA=∠NHG HN=BN ∠BNM=∠HNG=90°

，
∴△NBM≌△NHG（ASA），
∴GH=BM，
∵∠DBA=∠DHB，∠DBA=∠NHG，
∴∠DHB=∠NHG，
在△BDH和△MDH中，

∠DHB=∠NHG HD=HD ∠BDH=∠MDH=90°

，
∴△BDH≌△MDH（ASA），
∴BD=DM，
∴GH=2DB．
或簡寫：由（1）知，△NBM≌△NHG，
∴GH=BM，
同理可證，△BDH≌△MDH，
∴BD=DM，
∴GH=2DB．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)，等腰直角三角形的性質(zhì)，作輔助線構(gòu)造出全等三角形和等腰直角三角形是解題的關(guān)鍵，也是本題的難點(diǎn)．