Question

已知，如圖，在Rt△ABC中，∠C=90°，點(diǎn)O在AB上，以O(shè)為圓心，OA為半徑的圓與AC，AB分別交于點(diǎn)D，E，且∠CBD=∠A．
（1）判斷直線BD與⊙O的位置關(guān)系，并證明你的結(jié)論；
（2）若BC=4，BD=5，求

AD

AO

的值．

Answer 1

考點(diǎn)：切線的判定

專題：

分析：（1）連接OD，證明OD⊥BD．轉(zhuǎn)證∠ADO+∠CDB=90°．因?yàn)椤螦DO=∠A=∠CBD，∠CBD+∠CDB=90°，所以得證；
（2）連接DE，先證明△BCD∽△ADE，得對應(yīng)邊成比例求解．

解答：（1）證明：連接OD．
∵OA=OD，
∴∠A=∠ADO．
∵∠C=90°，
∴∠CBD+∠CDB=90°．
∵∠CBD=∠A，
∴∠CDB+∠ADO=90°，
∴∠ODB=90°，
∴BD與⊙O相切；

（2）解：連接DE，
∵AE是⊙O的直徑，
∴∠ADE=90°．
∵∠CBD=∠A，∠ADE=∠C，
∴△ADE∽△BCD，
∴AD：AE=BC：BD．
∵BC=4，BD=5，
∴AD：AE=4：5．
∵2AO=AE，
∴

AD

OA

=

8

5

．

點(diǎn)評：此題考查切線的判定和相似三角形的判定及性質(zhì)，屬常規(guī)題，難度不大，作出輔助線構(gòu)建等腰三角形和直角三角形是解題的關(guān)鍵．