Question

16．如圖，點E、F分別在正方形ABCD的邊CD與BC上，∠EAF=45°．
（1）求證：EF=DE+BF；
（2）作AP⊥EF于點P，若AD=10，求AP的長．

Answer 1

分析 （1）延長CB到G，使BG=DE，連接AG，證明△ABG≌△ADE，即可證得AG=AE，∠DAE=∠BAG，再證明△AFG≌△AFE，根據(jù)全等三角形的對應邊相等即可證得；
（2）證明△ABF≌△APF，根據(jù)全等三角形的對應邊相等即可證得AP=AB=AD，即可求解．

解答 解：（1）延長CB到G，使BG=DE，連接AG．
∵△ABG和△ADE中，
$\left\{\begin{array}{l}{AD=AB}\\{∠D=∠ABG}\\{DE=BG}\end{array}\right.$，
∴△ABG≌△ADE，
∴AG=AE，∠DAE=∠BAG，
又∵∠EAF=45°，∠DAB=90°，
∴∠DAE+∠BAF=45°，
∴∠GAF=∠EAF=45°．
∴△AFG和△AFE中，
$\left\{\begin{array}{l}{AE=AG}\\{∠GAF=∠EAF}\\{AF=AF}\end{array}\right.$，
∴△AFG≌△AFE，
∴GF=EF=BG+BF，
又∵DE=BG，
∴EF=DE+BF；
（2）∵AFG≌△AFE，
∴∠AFB=∠AFP，
又∵AP⊥EF，
∴∠ABF=∠APF，
∴△ABF和△APF中，$\left\{\begin{array}{l}{∠AFB=∠AFP}\\{∠APF=∠ABF}\\{AF=AF}\end{array}\right.$，
∴△ABF≌△APF，
∴AP=AB=AD=AD=10．

點評 本題考查了正方形的性質(zhì)以及全等三角形的判定與性質(zhì)，正確作出輔助線，構造全等的三角形是關鍵．