Question

【題目】在平面直角坐標(biāo)系中，點在拋物線上．

（1）如圖1，若拋物線經(jīng)過點．

①求拋物線的解析式；

②設(shè)拋物線與軸交于點，連接，，，若點在拋物線上，且與的面積相等，求點的坐標(biāo)；

（2）如圖2，若拋物線與軸交于點D過點作軸的平行線交拋物線于另一點．點為拋物線的對稱軸與軸的交點，為線段上一動點．若以M，D，E為頂點的三角形與相似．并且符合條件的點恰有個，請直接寫出拋物線的解析式及相應(yīng)的點的坐標(biāo)．

Answer 1

【答案】（1）①；②；（2）當(dāng)拋物線的解析式為時，點的坐標(biāo)為或；當(dāng)拋物線的解析式為時，點的坐標(biāo)為或

【解析】

（1）①利用待定系數(shù)法直接求拋物線的解析式；

②先求解的面積為 分情況討論：當(dāng)在的下方時，過點作軸交于，設(shè)點利用的面積為，建立方程求解即可，當(dāng)在的上方時，過點作的平行線，與拋物線的另一交點即為點，利用函數(shù)的交點可得答案；

（2）先求解拋物線的解析式為：，得到.

設(shè)，利用相似三角形的性質(zhì)建立方程，由方程解的情況討論得出結(jié)論．

解：①拋物線過點和點

解得

拋物線的解析式為

②在中，令得，

點的坐標(biāo)為

點到的距離為

設(shè)直線的解析式為

則

解得

直線的解析式為

（I）如圖，若點在直線下方的拋物線上，過點作軸交于

設(shè)點

則點

無解

此時點不存在

（II）若點在直線上方的拋物線上，過點作的平行線，與拋物線的另一交點即為點，則

則可設(shè)直線的解析式為

將代入，得

直線的解析式為

令

解得或(舍去)

當(dāng)拋物線的解析式為時，點的坐標(biāo)為或

當(dāng)拋物線的解析式為時，點的坐標(biāo)為或

理由如下：由點在拋物線上，得

拋物線的解析式為

設(shè)

當(dāng)時，

即

當(dāng)時，

即

當(dāng)方程有兩個相等實數(shù)根時，

解得(負(fù)值舍去)

此時，方程有兩個相等實數(shù)根

方程有一個實數(shù)根，符合題意

此時拋物線的解析式為

點的坐標(biāo)為或

當(dāng)方程有兩個不相等的實數(shù)根時，

把代入，解得負(fù)值舍去)

此時，方程有兩個不相等的實數(shù)根

方程有一個實數(shù)根，符合題意；

此時拋物線的解析式為

點的坐標(biāo)為或

綜上所述，當(dāng)拋物線的解析式為

點的坐標(biāo)為或；

當(dāng)拋物線的解析式為時，

點的坐標(biāo)為或