Question

如圖，在△ABC中，AB=AC，AB的垂直平分線交AB于點(diǎn)N，交BC的延長(zhǎng)線于點(diǎn)M，若∠A=40度．
（1）求∠NMB的度數(shù)；
（2）如果將（1）中∠A的度數(shù)改為70°，其余條件不變，再求∠NMB的度數(shù)；
（3）你發(fā)現(xiàn)有什么樣的規(guī)律性，試證明之；
（4）若將（1）中的∠A改為鈍角，你對(duì)這個(gè)規(guī)律性的認(rèn)識(shí)是否需要加以修改？

Answer 1

分析：（1）根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)可求得∠B=∠C，進(jìn)而根據(jù)三角形內(nèi)角和可求解．
（2）同（1）解．
（3）設(shè)∠A為未知數(shù)，根據(jù)三角形內(nèi)角和定理可證明．
（4）不需要，理由同上．

解答：解：（1）∵AB=AC，
∴∠B=∠ACB，
∴∠B=

1

2

(180°-∠A)=

1

2

(180°-40°)=70°，
∴∠NMB=90°-∠B=90°-70°=20°；

（2）∵AB=AC，
∴∠B=∠ACB，
∴∠B=

1

2

(180°-∠A)=

1

2

(180°-70°)=55°，
∴∠NMB=90°-∠B=90°-55°=35°；

（3）規(guī)律：∠NMB的度數(shù)等于頂角∠A度數(shù)的一半，
證明：∵AB=AC，
∴∠B=∠ACB，
∴∠B=

1

2

（180°-∠A），
∵∠BNM=90°，
∴∠NMB=90°-∠B=90°-

1

2

（180°-∠A）=

1

2

∠A，
即∠NMB的度數(shù)等于頂角∠A度數(shù)的一半；

（4）將（1）中的∠A改為鈍角，這個(gè)規(guī)律不需要修改，
仍有等腰三角形一腰的垂直平分線與底邊或底邊的延長(zhǎng)線相交所成的銳角等于頂角的一半．

點(diǎn)評(píng)：本題考查的知識(shí)點(diǎn)有等腰三角形的性質(zhì)，三角形內(nèi)角和定理以及線段垂直平分線的性質(zhì)，難度不大．做題時(shí)需要看清題意即可求解．