Question

在△ABC中，AC=BC，∠ACB=90°，D、E是直線AB上兩點．∠DCE=45°
（1）當(dāng)CE⊥AB時，點D與點A重合，顯然DE²=AD²+BE²（不必證明）；
（2）如圖，當(dāng)點D不與點A重合時，求證：DE²=AD²+BE²；
（3）當(dāng)點D在BA的延長線上時，（2）中的結(jié)論是否成立？畫出圖形，說明理由．

Answer 1

（1）解：∵CE⊥AB，
∴AE=BE，
∵點D與點A重合，
∴AD=0，
∴DE²=AD²+BE²；

（2）證明：過點A作AF⊥AB，使AF=BE，連接DF，CF，
∵在△ABC中，AC=BC，∠ACB=90°，
∴∠CAB=∠B=45°，
∴∠FAC=45°，
∴△CAF≌△CBE（SAS），
∴CF=CE，
∠ACF=∠BCE，
∵∠ACB=90°，∠DCE=45°，
∴∠ACD+∠BCE=∠ACB-∠DCE=90°-45°=45°，
∵∠ACF=∠BCE，
∴∠ACD+∠ACF=45°，
即∠DCF=45°，
∴∠DCF=∠DCE，
又∵CD=CD，
∴△CDF≌△CDE（SAS），
∴DF=DE，
∵AD²+AF²=DF²，
∴AD²+BE²=DE²；

（3）結(jié)論仍然成立；如圖，
證明：過點A作AF⊥AB，使AF=BE，連接DF，
∵在△ABC中，AC=BC，∠ACB=90°，
∴∠CAB=∠B=45°，
∴∠FAC=45°，
∴△CAF≌△CBE（SAS），
∴CF=CE，
∠ACF=∠BCE，
∵∠BCE+∠ACE=90°，
∴∠ACF+∠ACE=90°，即∠FCE=90°，
∵∠DCE=45°，
∴∠DCF=45°，
∴∠DCF=∠DCE，
又∵CD=CD，
∴△CDF≌△CDE（SAS），
∴DF=DE，
∵AD²+AF²=DF²，
∴AD²+BE²=DE²．
分析：（1）由等腰直角三角形的性質(zhì)直接得出結(jié)果；
（2）作AF⊥AB，使AF=BE，連接DF，根據(jù)SAS證得△CAF≌△CBE和△CDF≌△CDE，再由勾股定理和等量代換即可解答；
（3）方法同（2）．
點評：此題主要考查勾股定理及三角形全等的判定與性質(zhì)，解答時要充分分析里面的條件與問題之間的聯(lián)系．