Question

如圖，四邊形ABCD是矩形，AD=3，AB=4，把矩形沿直線AC折疊，點B落在點E處，連接DE，則DE的長為（　　）

• A．1
• B．

  9

  5

• C．

  7

  25

• D．

  7

  5

Answer 1

分析：過D作DF⊥AC于F，過E作EH⊥AC于H，根據矩形的性質得Rt△ABC≌Rt△CDA，再由折疊的性質得Rt△ABC≌Rt△AEC，則CE=CB=DA，CE與DA不平行，Rt△AEC≌Rt△CDA，得到∠1=∠2，易證∠1=∠4，于是有DE∥AC，即可判斷四邊形ACED是等腰梯形；由AB=4，AD=3，利用勾股定理得AC=5，再利用面積法計算出DF=EH=

12

5

，然后根據勾股定理計算出AF=CH=

9

5

，于是可得到DE的長．

解答：解：過D作DF⊥AC于F，過E作EH⊥AC于H，如圖，
∵四邊形ABCD為矩形，
∴Rt△ABC≌Rt△CDA，
又∵矩形沿著直線AC折疊，使點B落在點E處，
∴Rt△ABC≌Rt△AEC，
∴△ADC≌△CEA，
∴CE=AD，
根據全等三角形的面積相等，得：DF=EH，
∵EH∥DF，
∴四邊形DFHE是平行四邊形，
∴DE∥AC，
∵AD=CE，
∴四邊形DACE是等腰梯形，
S_△ADC=

1

2

AD×DC=

1

2

AC×DF，
∵AD=3，DC=4，由勾股定理得：AC=5，
∴DF=

12

5

=EH，
在△ADF中，由勾股定理得：AF=CH=

32-( 12 5 )2

=

9

5

，
∴DE=FH=5-2×

9

5

=

7

5

．
故選D．

點評：本題考查了折疊的性質：折疊前后兩圖形全等，即對應角相等，對應線段相等．也考查了等腰梯形的判定與性質和矩形的性質以及勾股定理．