Question

15．為積極響應(yīng)“喜迎G20峰會(huì)，當(dāng)好東道主”號(hào)召，交通部門準(zhǔn)備在一條60米長，11.8米寬的道路邊規(guī)劃停車位，按每輛車長5米，寬2.5米設(shè)計(jì)，停車后道路仍有不少于7米的路寬保證兩車可以雙向通過，如圖設(shè)計(jì)方案1：車位長邊與路邊夾角為45°，方案2：車位長邊與路邊夾角為30°．（$\sqrt{2}≈1.4，\sqrt{3}≈1.7$）
（1）請(qǐng)計(jì)算說明，兩種方案是否都能保證通行要求？
（2）計(jì)算符合通行要求的方案中最多可以劃出幾個(gè)這樣的停車位？
（3）若車位長邊與路邊夾角為α，能否設(shè)計(jì)一個(gè)滿足通行要求且停車位更多的新方案？若能，寫處此時(shí)α滿足的一個(gè)關(guān)系式；若不能，請(qǐng)說明理由．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)正弦函數(shù)求得DE、DF的長，即可判定方案是否能保證通行要求；
（2）根據(jù)正弦函數(shù)和余弦函數(shù)求得方案2中的GQ的長，即可求得此方案中最多可以停多少輛車；
（3）如圖所示新方案，根據(jù)車的寬度即可計(jì)算出最多停放車輛數(shù)．

解答 解：（1）方案1：在直角△ADE中，DE=AD•cos45°=2.5×$\frac{\sqrt{2}}{2}$=$\frac{5\sqrt{2}}{4}$（米），
如圖，AB=2.4×sin45°=2.4×$\frac{5\sqrt{2}}{4}$=3$\sqrt{2}$，在直角△DFC中，DF=DC•sin45°=$\frac{5\sqrt{2}}{2}$（米），
所以EF=DE+DF=$\frac{15\sqrt{2}}{4}$≈5.25＞11.8-7，不符合通行要求；
方案2，在直角△MQP中，QP=MP•cos30°=$\frac{5\sqrt{3}}{4}$（米）．
在直角△PRO中，PR=OP•sin30°=$\frac{5}{2}$（米），
QR=QP+PR=$\frac{5\sqrt{3}}{4}$+2.5≈4.625＜11.8-7，符合通行要求；

（2）方案2：
過第一輛車的左下角N作直線GH垂直于停車位的長邊，如圖：
∵M(jìn)Q=MR•sin30°=2.5×$\frac{1}{2}$=1.25（米），
GM=5×cos30°=5×$\frac{\sqrt{3}}{2}$≈4.3（米），
∴GQ=MQ+GM=1.25+4.3=5.55（米），
∵IN=$\frac{NO}{tan30°}$≈4.33（米），
∴IH=IN•cos30°≈3.75（米），
∵IT=MQ=1.25（米），
∴TH=IT+IH=1.25+3.75=5（米），
即從第二輛車開始，每增加一輛車，增加的長度為5米．
$\frac{60-5.55}{5}$+1=10.89+1=11.89（輛）．
取整數(shù)11，即方案2中最多可以可以設(shè)計(jì)11個(gè)停車位；

（3）
當(dāng)剛好11.8-7=4.8時(shí)，可以使停車位更多，
此時(shí)α滿足2.5cosα+5sinα=4.8．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了學(xué)生利用三角函數(shù)解決實(shí)際問題的能力以及矩形的性質(zhì)．這就要求學(xué)生把實(shí)際問題轉(zhuǎn)化為直角三角形的問題，利用三角函數(shù)解決問題．