Question

下圖，已知拋物線y＝x²＋bx＋c的圖像與x軸的一個交點為B(5，0)，另一個交點為A，且與y軸交于點C(0，5)．

(1)求直線BC與拋物線的解析式；

(2)若點M是拋物線在x軸下方圖像上的一動點，過點M作MN∥y軸交直線BC于點N，求MN的最大值；

(3)在(2)的條件下，MN取得最大值時，若點P是拋物線在x軸下方圖像上任意一點，以BC為邊作平行四邊形CBPQ，設(shè)平行四邊形CBPQ的面積為S₁，△ABN的面積為S₂，且S₁＝6S₂，求點P的坐標(biāo)．

Answer 1

答案：

∵拋物線y＝x2＋bx＋c與x軸的一個交點為B(5，0)，與y軸交于點C(0，5)，

∴將B(5，0)，C(0，5)代入y＝x2＋bx＋c，

解得：b＝－6，c＝5.

∴二次函數(shù)解析式為：y＝x2－6x＋5.

設(shè)直線BC的解析式為：y＝kx＋5.

將B(5，0)代入直線BC解析式y(tǒng)＝kx＋5.

解得：k＝－1.

∴直線BC的解析式為：y＝－x＋5.

如圖①.設(shè)M(x，y)，則

NM＝－x＋5－(x2－6x＋5).

NM＝－x2＋5x.

NM＝－(x－52)2＋254.

∴NM的最大值為254.

如圖②由第2問易得S2＝5，∴S1＝6S2＝30.

BC＝52，BC所在直線的解析式為：y＝－x＋5，

∠CBO＝45°，

∵S2＝30.∴平行四邊形CBPQ中BC邊上的高為3052＝32.

過點C作CD⊥PQ與PQ所在直線相交于點D，

PD交y軸于點E，CD＝32，∴CE＝6，

∵平行四邊形CBPQ的邊PQ所在直線，在直線BC的兩側(cè)可能各有一條，但點P在x軸下方，

∴PQ的解析式為y＝－x－1.

∵點P同時在拋物線和直線PQ上，

∴x2－6x＋5＝－x－1.解得x1＝2，x2＝3，

∴P1(2，－3)，P2(3，－4).