Question

如圖，在△ABC中，AC=BC，F(xiàn)為邊AB上的一點，BF：AF=m：n（m、n＞0），取CF的中點D，連結(jié)AD并延長交BC于點E．
（1）求BE：EC的值；
（2）若BE=2EC，那么CF所在的直線與邊AB有怎樣的位置關系？證明你的結(jié)論．
（3）E點能否成為BC中點？若能，求出相應的m：n，若不能，證明你的結(jié)論．

Answer 1

分析：（1）過點F作FG∥BC交AE于G，根據(jù)兩直線平行，內(nèi)錯角相等可得∠DFG=∠DCE，∠DGF=∠DEC，再根據(jù)中點定義可得CD=DF，然后利用“角角邊”證明△DCE和△DFG全等，根據(jù)全等三角形對應邊相等可得EC=GF，然后求出

AF

AB

，再求出△AFG和△ABE相似，根據(jù)相似三角形對應邊成比例列式求解即可得到

FG

BE

，從而得到BE：EC；
（2）求出BE：EC，然后代入（1）的關系式計算即可求出m=n，從而得到點F是AB的中點，再根據(jù)等腰三角形三線合一的性質(zhì)解答；
（3）假設成立，求出BE：EC，然后代入（1）的關系式計算即可求出m=0，與已知條件矛盾．

解答：解：（1）如圖，過點F作FG∥BC交AE于G，
則∠DFG=∠DCE，∠DGF=∠DEC，
∵D是CF的中點，
∴CD=DF，
在△DCE和△DFG中，

∠DFG=∠DCE DF=CD ∠GDF=∠EDC

，
∴△DCE≌△DFG（ASA），
∴EC=GF，
∵BF：AF=m：n，
∴

AF

AB

=

n

m+n

，
∵FG∥BC，
∴△AFG∽△ABE，
∴

AF

AB

=

FG

BE

=

n

m+n

，
∴BE：EC=

m+n

n

；

（2）若BE=2EC，則BE：EC=2，
由（1）知，

m+n

n

=2，
解得m=n，
∴點F是AB的中點，
∵AC=BC，
∴CF⊥AB；

（3）不能．
理由如下：假設點E能成為BC中點，
則BE=EC，
∴BE：EC=1，
由（1）知

m+n

n

=1，
解得m=0，
這與m、n＞0相矛盾，
所以，點E不能成為BC中點．

點評：本題考查了相似三角形的判定與性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，等腰三角形三線合一的性質(zhì)，作輔助線，構造出全等三角形和相似三角形是解題的關鍵．