Question

如圖，直線分別交x軸、y軸于B、A兩點(diǎn)，拋物線L：y=ax²+bx+c的頂點(diǎn)G在x軸上，且過(guò)（0，4）和（4，4）兩點(diǎn)。

（1）求拋物線L的解析式；
（2）拋物線L上是否存在這樣的點(diǎn)C，使得四邊形ABGC是以BG為底邊的梯形，若存在，請(qǐng)求出C點(diǎn)的坐標(biāo)，若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由。
（3）將拋物線L沿軸平行移動(dòng)得拋物線L₁，其頂點(diǎn)為P，同時(shí)將△PAB沿直線AB翻折得到△DAB，使點(diǎn)D落在拋物線L₁上，試問(wèn)這樣的拋物線L₁是否存在，若存在，求出L₁對(duì)應(yīng)的函數(shù)關(guān)系式，若不存在，說(shuō)明理由。

Answer 1

解：（1）∵拋物線L過(guò)（0，4）和（4，4）兩點(diǎn)，由拋物線的對(duì)稱性知對(duì)稱軸為x=2 ∴G（2，0），將（2，0）、（4，4）代入， 得，解得 ∴拋物線L的解析式為。 （2）∵直線分別交x軸、y軸于B、A兩點(diǎn)， ∴A（0，3），B（-，0） 若拋物線L上存在滿足的點(diǎn)C，則AC∥BG， ∴C點(diǎn)縱坐標(biāo)此為3，設(shè)C（m，3）， 又C在拋物線L，代入解析式： ∴， 當(dāng)時(shí)，BG=，AG= ∴BG∥AG且BG=AG，此時(shí)四邊形ABGC是平行四邊形，舍去 當(dāng)時(shí)，， ∴BG∥AG且BG≠AG，此時(shí)四邊形ABGC是梯形 故存在這樣的點(diǎn)C，使得四邊形ABGC是以BG為底邊的梯形， 其坐標(biāo)為：C（，3）。

（3）假設(shè)拋物線L1是存在的，且對(duì)應(yīng)的函數(shù)關(guān)系式為 ∴頂點(diǎn)P（n，0） Rt△ABO中，AO=3，BO=，可得∠ABO=60°， 又△ABD≌△ABP ∴∠ABD=60°，BD=BP= 如圖，過(guò)D作DN⊥軸于N點(diǎn)， Rt△BND中，BD=，∠DBN=60° ∴ ∴D（，） 即 又D點(diǎn)在拋物線上 ∴ 整理得 解得， 當(dāng)時(shí)，P與B重合，不能構(gòu)成三角形，舍去， ∴當(dāng)時(shí)，此時(shí)拋物線為。