Question

如圖，在矩形ABCD中，AB=12cm，BC=8cm．點(diǎn)E、F、G分別從點(diǎn)A、B、C三點(diǎn)同時(shí)出發(fā)，沿矩形的邊按逆時(shí)針方向移動(dòng)．點(diǎn)E、G的速度均為2cm/s，點(diǎn)F的速度為4cm/s，當(dāng)點(diǎn)F追上點(diǎn)G（即點(diǎn)F與點(diǎn)G重合）時(shí)，三個(gè)點(diǎn)隨之停止移動(dòng)．設(shè)移動(dòng)開始后第t秒時(shí)，△EFG的面積為S（cm²）
（1）當(dāng)t=1秒時(shí)，S的值是多少？
（2）寫出S和t之間的函數(shù)解析式，并指出自變量t的取值范圍；
（3）若點(diǎn)F在矩形的邊BC上移動(dòng)，當(dāng)t為何值時(shí)，以點(diǎn)E、B、F為頂點(diǎn)的三角形與以點(diǎn)F、C、G為頂點(diǎn)的三角形相似？請(qǐng)說明理由．

Answer 1

解：（1）如圖1，當(dāng)t=1秒時(shí)， AE=2，EB=10，BF=4，F(xiàn)C=4，CG=2 由S=S梯形GCBE﹣S△EBF﹣S△FCG =×（EB+CG）·BC﹣EB·BF﹣FC·CG =×（10+2）×8﹣×10×4﹣×4×2 =24（cm2）； （2）①如圖1，當(dāng)0≤t≤2時(shí)， 點(diǎn)E、F、G分別在邊AB、BC、CD上移動(dòng)， 此時(shí)AE=2t，EB=12﹣2t，BF=4t，F(xiàn)C=8﹣4t，CG=2t， S=S梯形GCBE﹣S△EBF﹣S△FCG =×（EB+CG）·BC﹣EB·BF﹣FC·CG =×8×（12﹣2t+2t）﹣×4t×（12﹣2t）﹣×2t×（8﹣4t） =8t2﹣32t+48． 即S=8t2﹣32t+48； ②如圖2，當(dāng)點(diǎn)F追上點(diǎn)G時(shí)，4t=2t+8，解得：t=4； 當(dāng)2<t<4時(shí)，點(diǎn)E在邊AB上移動(dòng)，點(diǎn)F、G都在邊CD上移動(dòng)， 此時(shí)CF=4t﹣8，CG=2t，F(xiàn)G=CG﹣CF=2t﹣（4t﹣8）=8﹣2t， S=FG·BC =×（8﹣2t）×8 =﹣8t+32． 即S=﹣8t+32； （3）如圖1，當(dāng)點(diǎn)F在矩形的邊BC上的邊移動(dòng)時(shí)，0≤t≤2， 在△EBF和△FCG中，∠B=∠C=90°， ①若=，即=， 解得：t=． 又t=滿足0≤t≤2， ∴當(dāng)t=時(shí)，△EBF∽△FCG； ②若=，即=， 解得：t=． 又t=滿足0≤t≤2， ∴當(dāng)t=時(shí)，△EBF∽△GCF． 綜上所述，當(dāng)t=或t=時(shí)，以點(diǎn)E、B、F為頂點(diǎn)的三角形與以F、C、G為頂點(diǎn)的三角形相似．

圖1 圖2