Question

拋物線y=x²-2x-15，y=4x-23，交于A、B點(diǎn)（A在B的左側(cè)），動點(diǎn)P從A點(diǎn)出發(fā)，先到達(dá)拋物線的對稱軸上的某點(diǎn)E再到達(dá)x軸上的某點(diǎn)F，最后運(yùn)動到點(diǎn)B．若使點(diǎn)P動的總路徑最短，則點(diǎn)P運(yùn)動的總路徑的長為（　�。�

• A、10

  5

• B、7

  10

• C、5

  21

• D、8

  10

Answer 1

考點(diǎn)：二次函數(shù)綜合題

專題：

分析：首先根據(jù)題意求得點(diǎn)A與B的坐標(biāo)，求得拋物線的對稱軸，然后作點(diǎn)A關(guān)于拋物線的對稱軸x=1的對稱點(diǎn)A′，作點(diǎn)B關(guān)于x軸的對稱點(diǎn)B′，連接A′B′，則直線A′B′與直線x=1的交點(diǎn)是E，與x軸的交點(diǎn)是F，而且易得A′B′即是所求的長度．

解答：解：如圖
∵拋物線y=x²-2x-15與直線y=4x-23交于A、B兩點(diǎn)，
∴x²-2x-15=4x-23，
解得：x=2或x=4，
當(dāng)x=2時，y=4x-23=-15，
當(dāng)x=4時，y=4x-23=-7，
∴點(diǎn)A的坐標(biāo)為（2，-15），點(diǎn)B的坐標(biāo)為（4，-7），
∵拋物線對稱軸方程為：x=-

b

2a

作點(diǎn)A關(guān)于拋物線的對稱軸x=1的對稱點(diǎn)A′，作點(diǎn)B關(guān)于x軸的對稱點(diǎn)B′，
連接A′B′，
則直線A′B′與對稱軸（直線x=1）的交點(diǎn)是E，與x軸的交點(diǎn)是F，
∴BF=B′F，AE=A′E，
∴點(diǎn)P運(yùn)動的最短總路徑是AE+EF+FB=A′E+EF+FB′=A′B′，
延長BB′，AA′相交于C，
∴A′C=4，B′C=7+15=22，
∴A′B′=

A′C2+B′C2

=10

5

．
∴點(diǎn)P運(yùn)動的總路徑的長為10

5

．
故選A．

點(diǎn)評：此題考查了二次函數(shù)與一次函數(shù)和二次函數(shù)的綜合應(yīng)用．注意找到點(diǎn)P運(yùn)動的最短路徑是解此題的關(guān)鍵，還要注意數(shù)形結(jié)合與方程思想的應(yīng)用．