Question

12．先閱讀下列材料，然后回答問題．
   材料：從3張不同的卡片中選取2張，有3張不同的選法，抽象成數(shù)學(xué)問題就是從3個元素中選取2個元素的組合，組合數(shù)記為${C}_{3}^{2}$=$\frac{3×2}{2×1}$=3．
   一般地，從n個不同的元素中選取m個元素的組合數(shù)記作${C}_{n}^{m}$，${C}_{n}^{m}$=$\frac{n（n-1）…（n-m+1）}{m（m-1）…2×1}$（m≤n）
  如：從6個不同元素中選3個元素的組合數(shù)為：${C}_{6}^{3}$=$\frac{6×5×4}{3×2×1}$=20．
（1）計(jì)算：${C}_{4}^{2}$=6，${C}_{4}^{3}$=4，${C}_{5}^{3}$=10，${C}_{5}^{4}$=5，${C}_{5}^{5}$=1，${C}_{6}^{5}$=6．
（2）由上述計(jì)算，探索猜想${C}_{n}^{k}$、${C}_{n+1}^{k+1}$、${C}_{n}^{k+1}$之間有什么關(guān)系？（直接寫出結(jié)果）
（3）由（2）的結(jié)論，請你計(jì)算：${C}_{3}^{3}$+${C}_{3}^{2}$+${C}_{4}^{2}$+${C}_{3}^{2}$+…+${C}_{20}^{2}$．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)新定義分別進(jìn)行計(jì)算；
（2）利用（1）中的計(jì)算結(jié)果得${C}_{4}^{2}$+${C}_{4}^{3}$=${C}_{5}^{3}$，${C}_{5}^{4}$+${C}_{5}^{5}$=${C}_{6}^{5}$，由此規(guī)律可得${C}_{n}^{k}$+${C}_{n}^{k+1}$=${C}_{n+1}^{k+1}$；
（3）利用（2）中的規(guī)律從左到右依次計(jì)算即可．

解答 解：（1）${C}_{4}^{2}$=$\frac{4×3}{2×1}$=6，${C}_{4}^{3}$=$\frac{4×3×2}{3×2×1}$=4，${C}_{5}^{3}$=$\frac{5×4×3}{3×2×1}$=10，${C}_{5}^{4}$=$\frac{5×4×3×2}{4×3×2×1}$=5，${C}_{5}^{5}$=$\frac{5×4×3×2×1}{5×4×3×2×1}$=1，${C}_{6}^{5}$=$\frac{6×5×4×3×2}{5×4×3×2×1}$=6．
故答案為6，4，10，5，1，6；
（2）${C}_{n}^{k}$+${C}_{n}^{k+1}$=${C}_{n+1}^{k+1}$；
（3）${C}_{3}^{3}$+${C}_{3}^{2}$+${C}_{4}^{2}$+C₅²+…+${C}_{20}^{2}$=C₄³+${C}_{4}^{2}$+C₅²+…+${C}_{20}^{2}$
=C₅³+C₅²+…+${C}_{20}^{2}$
=C₆³+…+${C}_{20}^{2}$
=C₂₁³．

點(diǎn)評 本題考查了規(guī)律型-數(shù)字的變化類：認(rèn)真觀察、仔細(xì)思考，善用聯(lián)想是解決這類問題的方法．本題的關(guān)鍵是對新定義的理解．