Question

【題目】如圖，拋物線y＝ax2+bx﹣2a與x軸交于點(diǎn)A和點(diǎn)B（1，0），與y軸將于點(diǎn)C（0，﹣）．

（1）求拋物線的解析式；

（2）若點(diǎn)D（2，n）是拋物線上的一點(diǎn)，在y軸左側(cè)的拋物線上存在點(diǎn)T，使△TAD的面積等于△TBD的面積，求出所有滿足條件的點(diǎn)T的坐標(biāo)；

（3）直線y＝kx﹣k+2，與拋物線交于兩點(diǎn)P、Q，其中在點(diǎn)P在第一象限，點(diǎn)Q在第二象限，PA交y軸于點(diǎn)M，QA交y軸于點(diǎn)N，連接BM、BN，試判斷△BMN的形狀并證明你的結(jié)論．

Answer 1

【答案】（1）；（2）（﹣3，）與（﹣，﹣；（3）△BMN是直角三角形，證明見解析.

【解析】

(1)用待定系數(shù)法即能求出拋物線的解析式；
(2)△TAD與△TBD有公共底邊TD,面積相等即點(diǎn)A.點(diǎn)B到直線TD距離相等。根據(jù)T的位置關(guān)系分類討論：在點(diǎn)A左側(cè)時,根據(jù)“平行線間距離處處相等”可得AB∥TD，易得點(diǎn)T的縱坐標(biāo)，代入解析式即求出橫坐標(biāo)；在點(diǎn)A右側(cè)時，分別過A.B作TD的垂線段，構(gòu)造全等三角形，證得TD與x軸交點(diǎn)為AB中點(diǎn)，求出TD解析式，再與拋物線解析式聯(lián)立方程組求出T；
(3)聯(lián)立直線y=kxk+2與拋物線解析式,整理得關(guān)于x的一元二次方程,根據(jù)韋達(dá)定理得到P、Q橫坐標(biāo)和和與積的式子(用k表示).設(shè)M(0,m)、N(0,n),求出直線AP、AQ的解析式(分別用m、n表示).分別聯(lián)立直線AP、AQ與拋物線方程,求得P、Q的橫坐標(biāo)(分別用m、n表示),即得到關(guān)于m、n、k關(guān)系的式子,整理得mn=1,即OMON=1,易證△BOM∽△NOB,進(jìn)而求出∠MBN=90°.

解：（1）∵拋物線y＝ax2+bx﹣2a經(jīng)過點(diǎn)B（1，0）、C（0，）

∴

解得：

∴拋物線的解析式為：.

（2）當(dāng)x＝2時，n＝×22+×2＝

∴D（2，）

①當(dāng)點(diǎn)T在點(diǎn)A左側(cè)時，如圖1，

∵S△TAD＝S△TBD，且△TAD與△TBD有公共底邊為TD

∴AB∥TD，即TD∥x軸

∴yT＝yD＝

x2+x＝ 解得：x1＝﹣3，x2＝2（即點(diǎn)D橫坐標(biāo)，舍去）

∴T（﹣3，）

②當(dāng)點(diǎn)T在點(diǎn)A右側(cè)時，如圖2，設(shè)DT與x軸交點(diǎn)為P，過A作AE⊥DT于E，過B作BF⊥DT于F

∵S△TAD＝S△TBD，且△TAD與△TBD有公共底邊為TD

∴AE＝BF

在△AEP與△BFP中，

∴△AEP≌△BFP（AAS）

∴AP＝BP 即P為AB中點(diǎn)

由x2+x＝0 解得：x1＝﹣2，x2＝1

∴A（﹣2，0）

∴P（，0）

設(shè)直線DP：y＝kx+c

解得：

∴直線DT：y＝

解得：（即點(diǎn)D，舍去），

∴T（﹣，﹣）

綜上所述，滿足條件的點(diǎn)T的坐標(biāo)為（﹣3，）與（﹣，﹣）

（3）△BMN是直角三角形，證明如下：

設(shè)x1為點(diǎn)P橫坐標(biāo)，x2為點(diǎn)Q的橫坐標(biāo)

整理得：x2+（1﹣8k）x+8k﹣18＝0

∴x1+x2＝8k﹣1，x1x2＝8k﹣18

設(shè)M（0，m），N（0，n）則OM＝m，ON＝﹣n

∴直線AM解析式：y＝，直線AN解析式：y＝

解得：（舍去），

∴P（1+4m，2m2+m）

同理可得：Q（1+4n，2n2+n）

∴

整理得：mn＝﹣1

∴m|n|＝1 即OMON＝1

又OB＝1，即OMON＝OB2

∴

∴△BOM∽△NOB

∴∠OBM＝∠ONB

∴∠MBN＝∠OBM+∠OBN＝∠ONB+∠OBN＝90°

∴△BMN是直角三角形