Question

9．如圖，在平面直角坐標系xOy中，菱形OABC的頂點A在x軸上，頂點B的坐標為（8，4），點P是對角線OB上一個動點，點D的坐標為（0，-2），當DP與AP之和最小時，點P的坐標為（$\frac{4}{3}$，$\frac{2}{3}$）．

Answer 1

分析 由菱形的性質(zhì)可知：點A的對稱點是點C，所以連接CD，交OB于點P，再得出CD即為DP+AP最短，解答即可．

解答 解：連接CD，如圖，
∵點A的對稱點是點C，
∴CP=AP，
∴CD即為DP+AP最短，
∵四邊形ABCD是菱形，頂點B（8，4），
∴OA²=AB²=（8-AB）²+4²，
∴AB=OA=BC=OC=5，
∴點C的坐標為（3，4），
∴可得直線OB的解析式為：y=0.5x，
∵點D的坐標為（0，-2），
∴可得直線CD的解析式為：y=2x-2，
∵點P是直線OC和直線ED的交點，
∴點P的坐標為方程組$\left\{\begin{array}{l}{y=0.5x}\\{y=2x-2}\end{array}\right.$的解，
解方程組得：$\left\{\begin{array}{l}{x=\frac{4}{3}}\\{y=\frac{2}{3}}\end{array}\right.$，
所以點P的坐標為（$\frac{4}{3}$，$\frac{2}{3}$），
故答案為：（$\frac{4}{3}$，$\frac{2}{3}$）．

點評 此題考查了軸對稱-最短路線問題，菱形的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是根據(jù)一次函數(shù)與方程組的關(guān)系，得出兩直線的解析式，求出其交點坐標．